Номер 3.34, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.34*. Найдите, при каком значении $a$ уравнение $ax - 1 = 2x$:

а) не имеет корней;

б) имеет единственный корень.

Дано уравнение с параметром a:$$ax - 1 = 2x$$Для того чтобы проанализировать количество корней, преобразуем уравнение, собрав члены с переменной x в одной части, а свободные члены — в другой.

$$ax - 2x = 1$$

Вынесем x за скобки:$$x(a - 2) = 1$$

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Kx = B$, где коэффициент $K = a - 2$ и свободный член $B = 1$. Количество решений такого уравнения зависит от значений коэффициента $K$.

а) не имеет корней

Линейное уравнение не имеет корней в том случае, когда коэффициент при x равен нулю ($K=0$), а правая часть уравнения не равна нулю ($B \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = B$, что является неверным равенством.

В нашем случае $K = a - 2$ и $B = 1$.Приравняем коэффициент при x к нулю, чтобы найти соответствующее значение a:$$a - 2 = 0$$$$a = 2$$При $a = 2$ правая часть уравнения равна 1, что не равно нулю.Таким образом, при $a = 2$ исходное уравнение принимает вид:$$x(2-2) = 1$$$$0 \cdot x = 1$$$$0 = 1$$Это равенство ложно, следовательно, при $a=2$ уравнение не имеет корней.
Ответ: $a = 2$.

б) имеет единственный корень

Линейное уравнение имеет единственный корень, когда коэффициент при x не равен нулю ($K \neq 0$). В этом случае корень можно найти по формуле $x = B/K$.

Условие существования единственного корня для нашего уравнения:$$a - 2 \neq 0$$$$a \neq 2$$При любом значении a, не равном 2, уравнение будет иметь единственный корень:$$x = \frac{1}{a-2}$$
Ответ: $a \neq 2$.