Номер 3.37, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.37. Равносильны ли уравнения:

а) $8x + 2 = 5$ и $8x = 3$;

б) $1,3x = -4$ и $13x = -0,4$;

в) $2x + 4 = -3x + 6$ и $2x + 3x = 6 - 4$;

г) $15x = -55$ и $3x = -11$?

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества корней (или если оба уравнения не имеют корней). Чтобы определить, равносильны ли данные пары уравнений, мы можем либо решить каждое уравнение и сравнить их корни, либо попытаться с помощью равносильных преобразований получить одно уравнение из другого.

а) $8x + 2 = 5$ и $8x = 3$;

Рассмотрим первое уравнение: $8x + 2 = 5$.

Это линейное уравнение. Для его решения перенесем слагаемое 2 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный. Это является равносильным преобразованием.

$8x = 5 - 2$

$8x = 3$

В результате преобразования первого уравнения мы получили второе уравнение. Это означает, что уравнения имеют одинаковые корни, то есть они равносильны. Корень обоих уравнений: $x = \frac{3}{8}$.

Ответ: Да, уравнения равносильны.

б) $1,3x = -4$ и $13x = -0,4$;

Найдем корень первого уравнения: $1,3x = -4$.

$x = \frac{-4}{1,3} = \frac{-40}{13}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x = -3\frac{1}{13}$.

Теперь найдем корень второго уравнения: $13x = -0,4$.

$x = \frac{-0,4}{13} = \frac{-4}{130} = -\frac{2}{65}$.

Так как корни уравнений различны ($-3\frac{1}{13} \neq -\frac{2}{65}$), уравнения не являются равносильными.

Другой способ: преобразуем первое уравнение, умножив обе его части на 10 (равносильное преобразование):

$10 \cdot (1,3x) = 10 \cdot (-4)$

$13x = -40$

Сравнивая полученное уравнение $13x = -40$ со вторым уравнением $13x = -0,4$, видим, что их левые части совпадают, а правые — нет ($-40 \neq -0,4$). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: Нет, уравнения не равносильны.

в) $2x + 4 = -3x + 6$ и $2x + 3x = 6 - 4$;

Рассмотрим первое уравнение: $2x + 4 = -3x + 6$.

Применим равносильное преобразование: перенесем слагаемое $-3x$ из правой части в левую, а слагаемое 4 из левой части в правую, изменив их знаки.

$2x + 3x = 6 - 4$

В результате мы получили второе уравнение. Это доказывает, что уравнения равносильны. Найдем их общий корень, упростив второе уравнение:

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5}$

Ответ: Да, уравнения равносильны.

г) $15x = -55$ и $3x = -11$?

Рассмотрим первое уравнение: $15x = -55$.

Разделим обе части уравнения на 5. Это равносильное преобразование, так как мы делим на число, не равное нулю.

$\frac{15x}{5} = \frac{-55}{5}$

$3x = -11$

Полученное уравнение совпадает со вторым уравнением. Значит, уравнения равносильны. Найдем их общий корень:

$x = -\frac{11}{3}$

Выделим целую часть из неправильной дроби: $x = -3\frac{2}{3}$.

Ответ: Да, уравнения равносильны.