вопросы, страница 281 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Приведите пример системы линейных уравнений с двумя переменными, которую рациональнее решать способом сложения.

2. Приведите пример системы линейных уравнений с двумя переменными, которую рациональнее решать способом подстановки.

1. Приведите пример системы линейных уравнений с двумя переменными, которую рациональнее решать способом сложения.

Способ сложения рационально применять, когда коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях являются противоположными числами (например, 3 и -3) или равными. Это позволяет при сложении или вычитании уравнений сразу исключить одну из переменных.

Рассмотрим пример: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - 3y = 4 \end{cases} $$ В этой системе коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами (3 и -3).

Решение:

1. Сложим два уравнения системы почленно:
$ (2x + 4x) + (3y - 3y) = 5 + 4 $
$ 6x = 9 $

2. Найдем значение $x$:
$ x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $

3. Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$ 2 \cdot (\frac{3}{2}) + 3y = 5 $
$ 3 + 3y = 5 $
$ 3y = 5 - 3 $
$ 3y = 2 $
$ y = \frac{2}{3} $

Решением системы является пара чисел $(\frac{3}{2}; \frac{2}{3})$. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{3}{2}$: $$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $$

Ответ: $(1\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$

2. Приведите пример системы линейных уравнений с двумя переменными, которую рациональнее решать способом подстановки.

Способ подстановки особенно удобен, когда в одном из уравнений системы одна переменная уже выражена через другую, или когда коэффициент при какой-либо переменной равен 1 или -1. Это позволяет легко выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение.

Рассмотрим пример: $$ \begin{cases} x - 4y = -1 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} $$ В этой системе в первом уравнении коэффициент при переменной $x$ равен 1, что позволяет легко выразить $x$ через $y$.

Решение:

1. Выразим $x$ из первого уравнения:
$ x = 4y - 1 $

2. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$ 3(4y - 1) + 2y = 8 $

3. Решим полученное уравнение относительно $y$:
$ 12y - 3 + 2y = 8 $
$ 14y = 11 $
$ y = \frac{11}{14} $

4. Теперь подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$ x = 4 \cdot (\frac{11}{14}) - 1 $
$ x = \frac{44}{14} - 1 $
$ x = \frac{22}{7} - \frac{7}{7} $
$ x = \frac{15}{7} $

Решением системы является пара чисел $(\frac{15}{7}; \frac{11}{14})$. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{15}{7}$: $$ \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} $$

Ответ: $(2\frac{1}{7}; \frac{11}{14})$