Номер 4.83, страница 277 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.83. Разложите на множители:

а) $-5x^2 - 10xy - 5y^2$;

б) $a^2 - 9b^2 + a - 3b$.

a) $-5x^2 - 10xy - 5y^2$
Для того чтобы разложить данный многочлен на множители, первым делом вынесем общий множитель за скобки. Все члены многочлена содержат множитель $-5$.
$-5x^2 - 10xy - 5y^2 = -5(x^2 + 2xy + y^2)$
Теперь рассмотрим выражение, оставшееся в скобках: $x^2 + 2xy + y^2$. Это выражение является полным квадратом суммы и соответствует формуле сокращенного умножения: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В нашем случае $A=x$ и $B=y$.
Следовательно, мы можем записать: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Подставляя это преобразование в наше первоначальное выражение, получаем окончательный результат разложения на множители.
$-5(x+y)^2$
Ответ: $-5(x+y)^2$.

б) $a^2 - 9b^2 + a - 3b$
Для разложения этого многочлена на множители воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первые два члена и последние два.
$(a^2 - 9b^2) + (a - 3b)$
Выражение в первой скобке, $a^2 - 9b^2$, является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В нашем случае $A = a$ и $B^2 = 9b^2$, что означает $B = 3b$.
Таким образом, $a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.
Теперь подставим разложенную группу обратно в исходное выражение:
$(a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b)$
Как мы видим, оба слагаемых имеют общий множитель $(a - 3b)$. Вынесем его за скобки. Для наглядности можно представить второе слагаемое как $1 \cdot (a - 3b)$.
$(a - 3b)((a + 3b) + 1)$
Упростим выражение во второй скобке, убрав внутренние скобки:
$(a - 3b)(a + 3b + 1)$
Ответ: $(a - 3b)(a + 3b + 1)$.