Номер 4.79, страница 276 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.79. Постройте графики уравнений системы и определите число решений системы:

а) $\begin{cases} x - y = 6, \\ -x + y = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y = 5, \\ x - y = 3. \end{cases}$

Для решения задачи построим графики уравнений каждой системы и найдем точки их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству решений системы.

а) Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 6 \\ -x + y = -3 \end{cases} $$

Для построения графиков выразим y через x в каждом уравнении. Это позволит представить уравнения в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью Y.

1. Из первого уравнения $x - y = 6$ получаем $y = x - 6$.

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 6 = -6$. Точка (0, -6).
• Если $x = 6$, то $y = 6 - 6 = 0$. Точка (6, 0).

2. Из второго уравнения $-x + y = -3$ получаем $y = x - 3$.

Это также линейная функция. Найдем две точки для ее графика:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка (0, -3).
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3, 0).

Сравним уравнения прямых: $y = x - 6$ и $y = x - 3$. У них одинаковый угловой коэффициент $k=1$, но разные свободные члены ($b_1 = -6$, $b_2 = -3$). Это означает, что прямые параллельны и не пересекаются.

Поскольку графики уравнений не имеют общих точек, система не имеет решений.

Ответ: 0.

б) Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

Выразим y через x в каждом уравнении:

1. Из первого уравнения $2x + y = 5$ получаем $y = -2x + 5$.

Для построения графика этой прямой найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -2(0) + 5 = 5$. Точка (0, 5).
• Если $x = 2$, то $y = -2(2) + 5 = 1$. Точка (2, 1).

2. Из второго уравнения $x - y = 3$ получаем $y = x - 3$.

Для построения графика этой прямой найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка (0, -3).
• Если $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3, 0).

Угловые коэффициенты прямых $y = -2x + 5$ и $y = x - 3$ различны ($k_1 = -2$, $k_2 = 1$). Это означает, что прямые пересекаются в одной точке. Чтобы найти эту точку, решим систему аналитически. Удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при y противоположны.

Сложим два уравнения системы:

$(2x + y) + (x - y) = 5 + 3$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, разделим числитель на знаменатель: $8 \div 3 = 2$ (остаток 2). Таким образом, $x = 2\frac{2}{3}$.

Теперь подставим найденное значение x в любое из уравнений, например, во второе $y = x - 3$:

$y = \frac{8}{3} - 3 = \frac{8}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{1}{3}$.

Графики пересекаются в точке с координатами $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{3})$. Поскольку существует ровно одна точка пересечения, система имеет одно решение.

Ответ: 1.