Номер 4.73, страница 276 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.73*. Найдите все значения b, при которых система уравнений $\begin{cases}3x + by = 1,5, \\2x + y = 1\end{cases}$ имеет бесконечно много решений.

Заданная система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + by = 1,5 \\ 2x + y = 1 \end{cases} $$ Система линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений в том и только в том случае, если ее уравнения пропорциональны. Это означает, что коэффициенты при переменных и свободные члены удовлетворяют следующему соотношению: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Для данной системы имеем следующие коэффициенты:
Из первого уравнения: $a_1 = 3$, $b_1 = b$, $c_1 = 1,5$.
Из второго уравнения: $a_2 = 2$, $b_2 = 1$, $c_2 = 1$.

Подставим эти значения в условие пропорциональности: $$ \frac{3}{2} = \frac{b}{1} = \frac{1,5}{1} $$

Это равенство должно выполняться одновременно. Проверим сначала равенство первого и третьего отношения: $$ \frac{3}{2} = \frac{1,5}{1} $$ Поскольку $\frac{3}{2} = 1,5$, это равенство верно. Это означает, что значение $b$, при котором система имеет бесконечное число решений, существует.

Теперь найдем это значение $b$ из пропорции, приравняв первое (или третье) отношение ко второму: $$ \frac{3}{2} = \frac{b}{1} $$ Отсюда напрямую следует, что: $$ b = \frac{3}{2} $$

Таким образом, система имеет бесконечно много решений при $b = \frac{3}{2}$. Согласно требованию, представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа и выделим в ответе целую часть. $$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $$ Целая часть равна 1.

Ответ: $b = \textbf{1}\frac{1}{2}$.