Номер 4.68, страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.68. Постройте графики уравнений системы и определите число решений системы:

a) $\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - y = 2, \\ -6x + 2y = 3. \end{cases}$

Чтобы определить число решений системы, нужно построить графики каждого уравнения и посмотреть, как они расположены относительно друг друга. Число точек пересечения графиков равно числу решений системы.

а) $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 6; \end{cases} $$

Каждое уравнение является линейным, его график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Преобразуем первое уравнение $x + y = 4$ в вид функции $y(x)$, выразив $y$ через $x$:

$y = -x + 4$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_1 = -1$.

• Если $x=0$, то $y=4$. Получаем точку (0, 4).
• Если $x=4$, то $y=0$. Получаем точку (4, 0).

2. Преобразуем второе уравнение $x - y = 6$ аналогичным образом:

$-y = -x + 6$, откуда $y = x - 6$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_2 = 1$.

• Если $x=0$, то $y=-6$. Получаем точку (0, -6).
• Если $x=6$, то $y=0$. Получаем точку (6, 0).

Построим эти две прямые на координатной плоскости. Так как их угловые коэффициенты различны ($k_1 = -1 \neq k_2 = 1$), прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1

б) $$ \begin{cases} 3x - y = 2, \\ -6x + 2y = 3. \end{cases} $$

Преобразуем оба уравнения к виду $y = kx + b$, чтобы сравнить их угловые коэффициенты и точки пересечения с осью ординат.

1. Из первого уравнения $3x - y = 2$ получаем:

$-y = -3x + 2$, откуда $y = 3x - 2$. Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = 3$.

2. Из второго уравнения $-6x + 2y = 3$ получаем:

$2y = 6x + 3$, откуда $y = \frac{6x + 3}{2}$ или $y = 3x + \frac{3}{2}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{3}{2}$: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Таким образом, второе уравнение имеет вид $y = 3x + 1\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = 3$.

Мы видим, что угловые коэффициенты обеих прямых одинаковы ($k_1 = k_2 = 3$), а точки пересечения с осью OY различны ($-2 \neq 1\frac{1}{2}$). Это означает, что прямые параллельны друг другу и никогда не пересекаются.

Поскольку графики уравнений являются параллельными прямыми и не имеют общих точек, система не имеет решений.

Ответ: 0