Номер 4.70, страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.70. Постройте графики уравнений системы и выберите систему, которая имеет бесконечно много решений:

a) $\begin{cases} x - 3y = 5 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - 0.5y = 4 \\ -x + 0.25y = -2 \end{cases}$

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений в том случае, когда графики уравнений (которые являются прямыми линиями) совпадают. Это происходит, если одно уравнение системы можно получить из другого путем умножения всех его членов на одно и то же ненулевое число. Если же угловые коэффициенты прямых различны, они пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение.

а) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 2x + y = 4; \end{cases} $$ Для анализа и построения графиков выразим y через x для каждого уравнения (приведем к виду $y = kx + b$):

1. Из первого уравнения $x - 3y = 5$:
$-3y = -x + 5$
$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$
Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = \frac{1}{3}$.

2. Из второго уравнения $2x + y = 4$:
$y = -2x + 4$
Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = -2$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, данная система имеет единственное решение.
Найдем координаты точки пересечения: $$ \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} = -2x + 4 $$ Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дробей: $$ x - 5 = -6x + 12 $$ $$ 7x = 17 $$ $$ x = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7} $$ Теперь найдем $y$: $$ y = -2 \cdot (\frac{17}{7}) + 4 = -\frac{34}{7} + \frac{28}{7} = -\frac{6}{7} $$ Точка пересечения: $(\frac{17}{7}, -\frac{6}{7})$.

Ответ: Система имеет единственное решение $(\mathbf{2}\frac{3}{7}, -\frac{6}{7})$.

б) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 2x - 0,5y = 4, \\ -x + 0,25y = -2; \end{cases} $$ Также приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

1. Из первого уравнения $2x - 0,5y = 4$:
$-0,5y = -2x + 4$
Умножим обе части на -2:
$y = 4x - 8$

2. Из второго уравнения $-x + 0,25y = -2$:
$0,25y = x - 2$
Умножим обе части на 4:
$y = 4x - 8$

Оба уравнения системы приводятся к одному и тому же виду $y = 4x - 8$. Это означает, что графики этих уравнений полностью совпадают. Любая точка на этой прямой является решением системы.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.

Таким образом, система, которая имеет бесконечно много решений, — это система б).