Номер 4.71, страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.71. Первое уравнение системы $x - 2y = 1$. Придумайте второе уравнение системы так, чтобы полученная система:

a) имела бесконечно много решений;

б) не имела решений;

в) имела только одно решение.

Для решения этой задачи воспользуемся аналитическим методом исследования систем линейных уравнений. Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Количество решений такой системы определяется соотношением ее коэффициентов:

• Система имеет бесконечно много решений, если уравнения пропорциональны, то есть одно является следствием другого. Геометрически это означает, что графики уравнений (прямые) совпадают. Условие: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.
• Система не имеет решений, если коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет. Геометрически это означает, что прямые параллельны и не совпадают. Условие: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.
• Система имеет только одно решение, если коэффициенты при переменных не пропорциональны. Геометрически это означает, что прямые пересекаются в одной точке. Условие: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.

В нашем случае первое уравнение: $x - 2y = 1$. Здесь $a_1=1$, $b_1=-2$, $c_1=1$.

а) имела бесконечно много решений;

Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Для этого достаточно умножить все члены первого уравнения на любое ненулевое число. Например, умножим уравнение $x - 2y = 1$ на 2:

$2 \cdot (x - 2y) = 2 \cdot 1$

$2x - 4y = 2$

В этом случае для системы $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x - 4y = 2 \end{cases} $$ соотношение коэффициентов будет $ \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} $, что соответствует условию бесконечного множества решений.

Ответ: $2x - 4y = 2$

б) не имела решений;

Чтобы система не имела решений, коэффициенты при $x$ и $y$ должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет. Мы можем умножить левую часть первого уравнения на какое-либо число (например, 2), а правая часть не будет умножена на это же число. Например, возьмем левую часть из предыдущего примера, а правую часть изменим, например, на 5:

$2x - 4y = 5$

В этом случае для системы $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x - 4y = 5 \end{cases} $$ соотношение коэффициентов будет $ \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} $, но $ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{5} $. Условие отсутствия решений выполняется.

Ответ: $2x - 4y = 5$

в) имела только одно решение.

Чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при переменных не должны быть пропорциональны. То есть, для второго уравнения $a_2x + b_2y = c_2$ должно выполняться условие $ \frac{1}{a_2} \neq \frac{-2}{b_2} $.

Можно выбрать любые коэффициенты, не удовлетворяющие этой пропорции. Чтобы выполнить дополнительное условие о выделении целой части из неправильной дроби, подберем такое уравнение, решение которого будет дробным. Например, возьмем простое уравнение $x + y = 2$.

Проверим условие для системы $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Соотношение коэффициентов $ \frac{1}{1} \neq \frac{-2}{1} $ ($1 \neq -2$), что гарантирует наличие единственного решения.

Теперь найдем это решение, чтобы продемонстрировать наличие неправильной дроби. Вычтем из второго уравнения первое:

$(x+y)-(x-2y) = 2-1$

$3y=1 \implies y=\frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение:

$x + \frac{1}{3} = 2 \implies x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

Дробь $\frac{5}{3}$ — неправильная. Выделим целую часть: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Таким образом, решение системы $(1\frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ единственное, и мы смогли выделить целую часть.

Ответ: $x + y = 2$