Номер 4.69, страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.69. Постройте графики уравнений системы и выберите систему, которая не имеет решений:

а) $\begin{cases}x + y = 2, \\x - y = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x + 2y = 5, \\-x - 2y = 5.\end{cases}$

Для того чтобы определить, какая система не имеет решений, необходимо проанализировать графики уравнений каждой системы. Система не имеет решений, если графики уравнений являются параллельными прямыми, то есть они имеют одинаковый угловой коэффициент (наклон), но разные точки пересечения с осью Y.

Чтобы построить графики, выразим y через x в каждом уравнении, приведя их к виду $y = kx + b$, где k - угловой коэффициент.

1. Первое уравнение: $x + y = 2 \implies y = -x + 2$.
   Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_1 = -1$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 2)$.
   Для построения графика найдем две точки:
   • Если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
   • Если $x = 2$, то $y = 0$. Точка $(2, 0)$.
2. Второе уравнение: $x - y = 1 \implies -y = -x + 1 \implies y = x - 1$.
   Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_2 = 1$ и пересечением с осью OY в точке $(0, -1)$.
   Для построения графика найдем две точки:
   • Если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
   • Если $x = 1$, то $y = 0$. Точка $(1, 0)$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 = -1 \neq k_2 = 1$), графики пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение. Найдем его, решив систему:

Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 2 + 1 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.

Подставим найденное значение x в первое уравнение: $\frac{3}{2} + y = 2 \implies y = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Точка пересечения графиков имеет координаты $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: система имеет одно решение $(\mathbf{1}\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Выразим y через x в каждом уравнении.

1. Первое уравнение: $x + 2y = 5 \implies 2y = -x + 5 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
   Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$, пересечение с осью OY в точке $(0, \frac{5}{2})$ или $(0, \mathbf{2}\frac{1}{2})$.
   Для построения графика найдем две точки:
   • Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(1, 2)$.
   • Если $x = 5$, то $y = -\frac{1}{2}(5) + \frac{5}{2} = 0$. Точка $(5, 0)$.
2. Второе уравнение: $-x - 2y = 5 \implies -2y = x + 5 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$.
   Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$, пересечение с осью OY в точке $(0, -\frac{5}{2})$ или $(0, -\mathbf{2}\frac{1}{2})$.
   Для построения графика найдем две точки:
   • Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2}(1) - \frac{5}{2} = -\frac{6}{2} = -3$. Точка $(1, -3)$.
   • Если $x = -5$, то $y = -\frac{1}{2}(-5) - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 0$. Точка $(-5, 0)$.

Угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = -\frac{1}{2}$), а точки пересечения с осью OY различны ($\mathbf{2}\frac{1}{2} \neq -\mathbf{2}\frac{1}{2}$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

Вывод

Система уравнений, которая не имеет решений, — это система под буквой б), так как графики уравнений этой системы представляют собой параллельные прямые.