Номер 4.72, страница 276 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.72*. Найдите все значения $a$, при которых система уравнений $\begin{cases} 2x + 3y = 10, \\ ax - 5y = 15 \end{cases}$ имеет единственное решение.

Найдите все значения a, при которых система уравнений $\begin{cases} 2x + 3y = 10, \\ ax - 5y = 15 \end{cases}$ имеет единственное решение.

Представлена система двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 10 \\ ax - 5y = 15 \end{cases} $$

Каждое уравнение в этой системе геометрически представляет собой прямую на плоскости. Система имеет единственное решение в том и только в том случае, если эти две прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда прямые не параллельны, то есть их угловые коэффициенты различны.

Для общей системы вида: $$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$ условие единственности решения (пересечения прямых) выражается через неравенство отношений коэффициентов при переменных: $$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $$

В нашей системе коэффициенты равны:

• $A_1 = 2$, $B_1 = 3$
• $A_2 = a$, $B_2 = -5$

Подставим эти значения в условие единственности решения: $$ \frac{2}{a} \neq \frac{3}{-5} $$

Система будет иметь единственное решение при всех значениях $a$, которые удовлетворяют этому неравенству. Чтобы найти, какое значение $a$ не подходит, решим соответствующее уравнение (условие параллельности прямых): $$ \frac{2}{a} = \frac{3}{-5} $$

Решим это уравнение относительно $a$, используя свойство пропорции: $$ 2 \cdot (-5) = 3 \cdot a $$ $$ -10 = 3a $$ $$ a = -\frac{10}{3} $$

Следовательно, если $a = -\frac{10}{3}$, то прямые параллельны, и система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. Во всех остальных случаях, то есть при $a \neq -\frac{10}{3}$, система имеет единственное решение.

Преобразуем неправильную дробь $-\frac{10}{3}$ в смешанное число, чтобы выделить целую часть: $$ -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} $$ Целая часть в данном смешанном числе равна -3.

Ответ: $a \neq -\mathbf{3}\frac{1}{3}$.