Номер 4.78, страница 276 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.78. Придумайте пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решением которой будет пара чисел $(5; 7)$.

Требуется придумать пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решением которой является пара чисел (5; 7). Это означает, что если мы подставим значения $x=5$ и $y=7$ в оба уравнения системы, то должны получить верные числовые равенства.

Общий вид линейного уравнения с двумя неизвестными: $ax + by = c$. Наша задача — подобрать коэффициенты $a$, $b$ и вычислить соответствующий им свободный член $c$ для двух разных уравнений.

Шаг 1: Создание первого уравнения

Для первого уравнения выберем произвольные, но простые коэффициенты для $x$ и $y$. Например, пусть $a=1$ и $b=1$. Тогда уравнение будет иметь вид:

$x + y = c$

Теперь подставим в это уравнение известные нам значения $x=5$ и $y=7$, чтобы найти $c$:

$5 + 7 = 12$

Следовательно, $c=12$. Первое уравнение нашей системы:

$x + y = 12$

Шаг 2: Создание второго уравнения

Для второго уравнения нужно выбрать другую пару коэффициентов $a$ и $b$, чтобы уравнение не было пропорционально первому (например, не следует брать $2x+2y=24$, так как это то же самое уравнение). Возьмем, к примеру, $a=3$ и $b=-2$. Уравнение примет вид:

$3x - 2y = c$

Снова подставляем $x=5$ и $y=7$ для нахождения $c$:

$3 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 15 - 14 = 1$

Значит, $c=1$. Второе уравнение системы:

$3x - 2y = 1$

Шаг 3: Составление и проверка системы

Объединим полученные уравнения в систему:

Проверим, является ли пара (5; 7) решением этой системы:

• Подстановка в первое уравнение: $5 + 7 = 12$. Равенство $12 = 12$ — верно.
• Подстановка во второе уравнение: $3 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 15 - 14 = 1$. Равенство $1 = 1$ — верно.

Так как оба равенства верны, составленная система удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 12 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} $$