Номер 4.84, страница 277 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.84. Найдите значение числового выражения

$$((\frac{5}{7})^6)^{-3} : ((\frac{7}{5})^{-4})^{-5}.$$

Найдем значение числового выражения $ ((\frac{5}{7})^6)^{-3} : ((\frac{7}{5})^{-4})^{-5} $.

Для решения будем последовательно применять свойства степеней:

• Возведение степени в степень: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $
• Степень с отрицательным показателем: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ и $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $
• Деление степеней с одинаковым основанием: $ a^m : a^n = a^{m-n} $

Шаг 1: Упрощение первого выражения (делимого)

Используем правило возведения степени в степень:

$ ((\frac{5}{7})^6)^{-3} = (\frac{5}{7})^{6 \cdot (-3)} = (\frac{5}{7})^{-18} $

Шаг 2: Упрощение второго выражения (делителя)

Аналогично применяем то же правило:

$ ((\frac{7}{5})^{-4})^{-5} = (\frac{7}{5})^{(-4) \cdot (-5)} = (\frac{7}{5})^{20} $

Шаг 3: Выполнение деления

Теперь исходное выражение имеет вид:

$ (\frac{5}{7})^{-18} : (\frac{7}{5})^{20} $

Чтобы выполнить деление, приведем дроби к одному основанию. Воспользуемся свойством $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $. Преобразуем первую дробь:

$ (\frac{5}{7})^{-18} = (\frac{7}{5})^{18} $

Теперь деление выглядит так:

$ (\frac{7}{5})^{18} : (\frac{7}{5})^{20} $

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:

$ (\frac{7}{5})^{18 - 20} = (\frac{7}{5})^{-2} $

Шаг 4: Вычисление финального результата

Вновь используем свойство степени с отрицательным показателем:

$ (\frac{7}{5})^{-2} = (\frac{5}{7})^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49} $

Полученная дробь $ \frac{25}{49} $ является правильной (числитель меньше знаменателя), поэтому она не является неправильной дробью и ее целая часть равна нулю.

Ответ: $ \frac{25}{49} $. Целая часть: 0.