Номер 4.81, страница 277 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.81*. Найдите все значения $a$, при которых система уравнений $\begin{cases} ax - 3y = 12, \\ 2x - 4y = 16 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений.

Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя переменными имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены были пропорциональны. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Для системы вида: $$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$ условие пропорциональности записывается как равенство отношений: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$

Применим это правило к нашей системе уравнений: $$ \begin{cases} ax - 3y = 12 \\ 2x - 4y = 16 \end{cases} $$ Составим соответствующую пропорцию из коэффициентов: $$ \frac{a}{2} = \frac{-3}{-4} = \frac{12}{16} $$

Сначала упростим и проверим равенство известных отношений: $$ \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} $$ $$ \frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} $$ Так как отношения $\frac{-3}{-4}$ и $\frac{12}{16}$ равны $\frac{3}{4}$, система будет иметь бесконечно много решений, если и отношение $\frac{a}{2}$ будет равно этому же значению.

4.81*. Теперь найдем значение $a$ из уравнения: $$ \frac{a}{2} = \frac{3}{4} $$ Чтобы выразить $a$, умножим обе части уравнения на 2: $$ a = \frac{3}{4} \cdot 2 $$ $$ a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$ Мы получили ответ в виде неправильной дроби $a = \frac{3}{2}$. Чтобы выделить целую часть, как требуется в условии, преобразуем эту дробь в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $a = \mathbf{1}\frac{1}{2}$