вопросы, страница 274 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Верно ли утверждение: «Пара чисел $(x; y)$ называет- ся решением системы уравнений $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2, \end{cases}$ если она является решением хотя бы одного уравнения систе- мы»? Ответ поясните.

2. Система уравнений $\begin{cases} 2x - 3y = 7, \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}$ не имеет решений.

Как расположены графики уравнений системы?

3. Система уравнений $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}$ имеет одно решение.

Как расположены графики уравнений системы?

1. Верно ли утверждение: «Пара чисел (x; y) называется решением системы уравнений $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2, \end{cases}$ если она является решением хотя бы одного уравнения системы?» Ответ поясните.
Данное утверждение неверно.
По определению, решением системы уравнений с двумя переменными называется такая пара значений переменных $(x; y)$, которая обращает в верное числовое равенство каждое уравнение системы одновременно. Если пара чисел является решением только одного из уравнений, но не удовлетворяет другому, она не может считаться решением всей системы.

Пример:
Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Пара чисел $(4; 1)$ является решением первого уравнения ($4+1=5$), но не является решением второго ($4-1=3 \ne 1$). Следовательно, пара $(4; 1)$ не является решением системы. Решением этой системы является пара $(3; 2)$, так как она удовлетворяет обоим уравнениям: $3+2=5$ и $3-2=1$.

Ответ: Утверждение неверно. Решением системы является пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в систему.

2. Система уравнений $\begin{cases} 2x - 3y = 7, \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}$ не имеет решений. Как расположены графики уравнений системы?
Графиком каждого линейного уравнения вида $ax+by=c$ является прямая. Взаимное расположение графиков (прямых) на плоскости определяет количество решений системы.
Чтобы определить их расположение, приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.

1) Первое уравнение: $2x - 3y = 7 \implies -3y = -2x + 7 \implies y = \frac{2}{3}x - \frac{7}{3}$.
Угловой коэффициент $k_1 = \frac{2}{3}$, пересечение с осью $y$ в точке $(0; -\frac{7}{3})$.

2) Второе уравнение: $2x - 3y = 3 \implies -3y = -2x + 3 \implies y = \frac{2}{3}x - 1$.
Угловой коэффициент $k_2 = \frac{2}{3}$, пересечение с осью $y$ в точке $(0; -1)$.

Так как угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = \frac{2}{3}$), а точки пересечения с осью $y$ различны ($- \frac{7}{3} \ne -1$), то прямые параллельны друг другу. Параллельные прямые не имеют общих точек, поэтому система уравнений не имеет решений.

Ответ: Графики уравнений системы являются параллельными прямыми.

3. Система уравнений $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}$ имеет одно решение. Как расположены графики уравнений системы?
Определим взаимное расположение графиков, сравнив их угловые коэффициенты, как и в предыдущей задаче.

1) Первое уравнение: $x + 2y = 7 \implies 2y = -x + 7 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$.
Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$.

2) Второе уравнение: $2x - 3y = 3 \implies -3y = -2x + 3 \implies y = \frac{2}{3}x - 1$.
Угловой коэффициент $k_2 = \frac{2}{3}$.

Так как угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \ne k_2$), то прямые пересекаются. Точка их пересечения является единственным решением системы.

Найдем эту точку. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 7 - 2y$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$2(7 - 2y) - 3y = 3$
$14 - 4y - 3y = 3$
$14 - 7y = 3$
$-7y = 3 - 14$
$-7y = -11$
$y = \frac{11}{7}$

Теперь найдем $x$:
$x = 7 - 2 \cdot \frac{11}{7} = \frac{49}{7} - \frac{22}{7} = \frac{27}{7}$

Ответ: Графики уравнений системы являются пересекающимися прямыми. Координаты точки пересечения: $x = \frac{27}{7} = \mathbf{3}\frac{6}{7}$, $y = \frac{11}{7} = \mathbf{1}\frac{4}{7}$.