Номер 4.95, страница 283 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.95. Определите, на какое число удобно умножить одно из уравнений системы, и решите систему уравнений способом сложения:

а) $\begin{cases} 3x - 2y = 5, \\ 5x + 4y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - 5y = 2, \\ 6x - 7y = -2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 5x + 6y = 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 4y = 8, \\ x - y = 2. \end{cases}$

Для решения каждой системы уравнений методом сложения необходимо умножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Затем уравнения складываются, что позволяет исключить одну переменную и найти вторую. После этого найденное значение подставляется в любое из исходных уравнений для нахождения значения оставшейся переменной.

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 5, \\ 5x + 4y = 1; \end{cases} $$ Чтобы решить систему методом сложения, удобно умножить первое уравнение на 2. В этом случае коэффициенты при переменной $y$ станут противоположными числами ($-4y$ и $4y$). $$ \begin{cases} 3x - 2y = 5 |\cdot 2 \\ 5x + 4y = 1; \end{cases} \implies \begin{cases} 6x - 4y = 10, \\ 5x + 4y = 1; \end{cases} $$ Теперь сложим уравнения почленно: $$ (6x - 4y) + (5x + 4y) = 10 + 1 $$ $$ 11x = 11 $$ $$ x = 1 $$ Подставим найденное значение $x=1$ в первое исходное уравнение: $$ 3(1) - 2y = 5 $$ $$ 3 - 2y = 5 $$ $$ -2y = 2 $$ $$ y = -1 $$ Ответ: $(1; -1)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 5y = 2, \\ 6x - 7y = -2; \end{cases} $$ Чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными, удобно умножить первое уравнение на -3. Тогда коэффициенты при $x$ станут $-6$ и $6$. $$ \begin{cases} 2x - 5y = 2 |\cdot (-3) \\ 6x - 7y = -2; \end{cases} \implies \begin{cases} -6x + 15y = -6, \\ 6x - 7y = -2; \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ (-6x + 15y) + (6x - 7y) = -6 + (-2) $$ $$ 8y = -8 $$ $$ y = -1 $$ Подставим $y=-1$ в первое исходное уравнение: $$ 2x - 5(-1) = 2 $$ $$ 2x + 5 = 2 $$ $$ 2x = -3 $$ $$ x = -\frac{3}{2} $$ Выделим целую часть из неправильной дроби: $x = -1\frac{1}{2}$.
Ответ: $(-1\frac{1}{2}; -1)$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 5x + 6y = 9; \end{cases} $$ Удобно умножить первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-6$ и $6$). $$ \begin{cases} 2x + 3y = 3 |\cdot (-2) \\ 5x + 6y = 9; \end{cases} \implies \begin{cases} -4x - 6y = -6, \\ 5x + 6y = 9; \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ (-4x - 6y) + (5x + 6y) = -6 + 9 $$ $$ x = 3 $$ Подставим $x=3$ в первое исходное уравнение: $$ 2(3) + 3y = 3 $$ $$ 6 + 3y = 3 $$ $$ 3y = -3 $$ $$ y = -1 $$ Ответ: $(3; -1)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5x - 4y = 8, \\ x - y = 2. \end{cases} $$ Удобно умножить второе уравнение на -4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-4$ и $4$). $$ \begin{cases} 5x - 4y = 8, \\ x - y = 2 |\cdot (-4) \end{cases} \implies \begin{cases} 5x - 4y = 8, \\ -4x + 4y = -8. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ (5x - 4y) + (-4x + 4y) = 8 + (-8) $$ $$ x = 0 $$ Подставим $x=0$ во второе исходное уравнение: $$ 0 - y = 2 $$ $$ -y = 2 $$ $$ y = -2 $$ Ответ: $(0; -2)$.