Номер 5, страница 113 - гдз по физике 7 класс учебник Исаченкова, Громыко

5. В цилиндрический сосуд налиты вода и машинное масло, массы которых равны. Найдите высоту каждого из столбов, если полное гидростатическое давление на дно $p = 1{,}8 \text{ кПа}$. Решите задачу для случая, когда равны не массы жидкостей, а их объемы.

Задача состоит из двух частей. Решим каждую из них последовательно.

Для решения нам понадобятся справочные данные плотностей жидкостей, а также значение ускорения свободного падения, которое для упрощения расчетов примем равным $10 \text{ м/с}^2$.

• Плотность воды: $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
• Плотность машинного масла: $\rho_м = 900 \text{ кг/м}^3$

Случай 1: массы жидкостей равны ($m_в = m_м$)

Дано:

$p = 1,8 \text{ кПа} = 1800 \text{ Па}$
$m_в = m_м$
$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
$\rho_м = 900 \text{ кг/м}^3$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Высоту столба воды $h_в$ - ?
Высоту столба масла $h_м$ - ?

Решение:

Поскольку плотность воды ($\rho_в$) больше плотности машинного масла ($\rho_м$), вода будет находиться внизу, а масло — сверху. Общее гидростатическое давление на дно сосуда равно сумме давлений, создаваемых столбами воды и масла:

$p = p_в + p_м$

Давление каждого столба жидкости определяется по формуле $p_i = \rho_i g h_i$, где $\rho_i$ — плотность жидкости, $h_i$ — высота её столба. Таким образом, общее давление:

$p = \rho_в g h_в + \rho_м g h_м$ (1)

По условию задачи, массы жидкостей равны ($m_в = m_м$). Массу можно выразить через плотность и объем: $m = \rho V$. Объем жидкости в цилиндрическом сосуде равен $V = S h$, где $S$ — площадь дна сосуда.

$m_в = \rho_в V_в = \rho_в S h_в$

$m_м = \rho_м V_м = \rho_м S h_м$

Приравнивая массы, получаем соотношение между высотами столбов:

$\rho_в S h_в = \rho_м S h_м$

$\rho_в h_в = \rho_м h_м$ (2)

Из этого соотношения можно выразить высоту одного столба через другой. Например, выразим высоту столба масла:

$h_м = h_в \frac{\rho_в}{\rho_м}$

Подставим это выражение в формулу для общего давления (1):

$p = \rho_в g h_в + \rho_м g \left(h_в \frac{\rho_в}{\rho_м}\right) = \rho_в g h_в + \rho_в g h_в = 2 \rho_в g h_в$

Отсюда найдем высоту столба воды $h_в$:

$h_в = \frac{p}{2 \rho_в g}$

Подставим числовые значения:

$h_в = \frac{1800 \text{ Па}}{2 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{1800}{20000} = 0,09 \text{ м}$

Теперь, используя соотношение (2), найдем высоту столба масла $h_м$:

$h_м = h_в \frac{\rho_в}{\rho_м} = 0,09 \text{ м} \cdot \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{900 \text{ кг/м}^3} = 0,09 \cdot \frac{10}{9} = 0,1 \text{ м}$

Ответ: высота столба воды $h_в = 0,09 \text{ м}$ (9 см), высота столба машинного масла $h_м = 0,1 \text{ м}$ (10 см).

Случай 2: объемы жидкостей равны ($V_в = V_м$)

Дано:

$p = 1,8 \text{ кПа} = 1800 \text{ Па}$
$V_в = V_м$
$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
$\rho_м = 900 \text{ кг/м}^3$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Высоту столба воды $h_в$ - ?
Высоту столба масла $h_м$ - ?

Решение:

Как и в первом случае, общее давление на дно равно сумме давлений столбов жидкостей:

$p = \rho_в g h_в + \rho_м g h_м$ (1)

По условию, объемы жидкостей равны ($V_в = V_м$). Поскольку сосуд цилиндрический, его площадь поперечного сечения $S$ постоянна. Объем столба жидкости $V = S h$.

$S h_в = S h_м$

Отсюда следует, что высоты столбов жидкостей также равны:

$h_в = h_м = h$

Подставим это равенство в формулу для общего давления (1):

$p = \rho_в g h + \rho_м g h = (\rho_в + \rho_м) g h$

Из этой формулы выразим высоту $h$:

$h = \frac{p}{(\rho_в + \rho_м) g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{1800 \text{ Па}}{(1000 \text{ кг/м}^3 + 900 \text{ кг/м}^3) \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{1800}{1900 \cdot 10} = \frac{1800}{19000} = \frac{18}{190} = \frac{9}{95} \text{ м}$

Вычислим приближенное значение:

$h = \frac{9}{95} \text{ м} \approx 0,0947 \text{ м}$

Таким образом, высота каждого столба жидкости одинакова и составляет примерно 9,5 см.

Ответ: высота столба воды $h_в \approx 0,095 \text{ м}$ (9,5 см), высота столба машинного масла $h_м \approx 0,095 \text{ м}$ (9,5 см).