Номер 1.2, страница 4 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.2. Постройте в тетради треугольник и обозначьте его $MNK$, внутри треугольника отметьте точки $A, B, C$. Имеют ли общие точки:

а) отрезок $MN$ с отрезком $AB$; отрезок $KN$ с прямой $NC$; луч $MK$ с отрезком $AC$; луч $KN$ с прямой $NC$;

б) отрезок $MK$ с отрезком $AC$; прямая $MN$ с отрезком $AB$; луч $KN$ с отрезком $NC$; луч $MK$ с прямой $AC$?

а) В соответствии с условием задачи, рассмотрим треугольник $MNK$ и точки $A$, $B$, $C$, расположенные внутри него.
• отрезок $MN$ с отрезком $AB$: Отрезок $MN$ является стороной треугольника (его границей). Отрезок $AB$, соединяющий две точки $A$ и $B$ внутри треугольника, целиком располагается во внутренней области треугольника. Поскольку внутренняя область и граница фигуры не пересекаются, у этих отрезков нет общих точек.
• отрезок $KN$ с прямой $NC$: Прямая $NC$ проходит через точку $N$. Точка $N$ также является одним из концов отрезка $KN$. Следовательно, точка $N$ является их общей точкой.
• луч $MK$ с отрезком $AC$: Луч $MK$ начинается в точке $M$ и проходит через точку $K$. Он состоит из стороны $MK$ и части прямой, лежащей вне треугольника. Отрезок $AC$ полностью находится внутри треугольника. Таким образом, у них нет общих точек.
• луч $KN$ с прямой $NC$: Луч $KN$ начинается в точке $K$ и проходит через точку $N$, а значит, содержит точку $N$. Прямая $NC$ также проходит через точку $N$. Следовательно, их общей точкой является точка $N$.
Ответ: отрезок $MN$ с отрезком $AB$ — нет; отрезок $KN$ с прямой $NC$ — да; луч $MK$ с отрезком $AC$ — нет; луч $KN$ с прямой $NC$ — да.

б)
• отрезок $MK$ с отрезком $AC$: Аналогично пункту а), сторона треугольника $MK$ (граница) и отрезок $AC$ (внутренняя область) не имеют общих точек.
• прямая $MN$ с отрезком $AB$: Прямая $MN$ делит плоскость на две полуплоскости. Вся внутренняя часть треугольника $MNK$ находится в одной из этих полуплоскостей. Так как отрезок $AB$ лежит внутри треугольника, он не может пересекать прямую $MN$. Общих точек нет.
• луч $KN$ с отрезком $NC$: Точка $N$ принадлежит лучу $KN$ и является одним из концов отрезка $NC$. Следовательно, точка $N$ — их общая точка.
• луч $MK$ с прямой $AC$: Прямая, проходящая через две внутренние точки треугольника (в данном случае $A$ и $C$), согласно аксиоме Паша, должна пересечь границу треугольника в двух точках. Можно расположить точки $A$ и $C$ так, чтобы прямая $AC$ пересекала именно сторону $MK$. В этом случае прямая $AC$ будет иметь общую точку с лучом $MK$ (эта точка будет лежать на отрезке $MK$). Таким образом, они могут иметь общие точки.
Ответ: отрезок $MK$ с отрезком $AC$ — нет; прямая $MN$ с отрезком $AB$ — нет; луч $KN$ с отрезком $NC$ — да; луч $MK$ с прямой $AC$ — да.