Номер 54, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

54. Длина окружности, дуги

$C = 2\pi r$ — формула длины окружности.

$l = \frac{\pi r}{180^{\circ}} \cdot \alpha$ — формула длины дуги, градусная мера которой равна $\alpha$.

Вершины правильного треугольника делят окружность на три дуги. Найдите длину одной из этих дуг, если сторона правильного треугольника равна $4\sqrt{3}$.

1. Нахождение радиуса окружности ($r$)
Сторона правильного треугольника ($a$), вписанного в окружность, связана с радиусом ($r$) этой окружности формулой: $a = r\sqrt{3}$. Из условия известно, что сторона треугольника $a = 4\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти радиус: $4\sqrt{3} = r\sqrt{3}$
Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получаем: $r = 4$.

2. Нахождение градусной меры дуги ($\alpha$)
Вершины правильного треугольника делят окружность на три равные дуги. Полная окружность составляет $360°$. Следовательно, градусная мера каждой из этих дуг равна: $\alpha = \frac{360°}{3} = 120°$.

3. Вычисление длины дуги ($l$)
Теперь используем формулу для вычисления длины дуги, приведенную в условии: $l = \frac{\pi r}{180°} \cdot \alpha$. Подставим найденные значения $r = 4$ и $\alpha = 120°$: $l = \frac{\pi \cdot 4}{180°} \cdot 120°$
Сократим дробь $\frac{120}{180}$ на 60: $l = \frac{4\pi}{180} \cdot 120 = 4\pi \cdot \frac{120}{180} = 4\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{8\pi}{3}$.

Другой способ: можно найти длину всей окружности $C = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ и разделить ее на 3, так как дуги равны: $l = \frac{C}{3} = \frac{8\pi}{3}$. Результат тот же.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$