Номер 53, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

53. Площадь круга, сектора

$S = \pi r^2$ — формула площади круга.

$S = \frac{\pi r^2}{360^{\circ}} \cdot \alpha$ — формула площади сектора.

Угол, равный 36°, вписан в круг. Найдите площадь сектора круга, заключенного между сторонами центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и данный угол, если радиус круга равен 5.

По условию задачи дан вписанный в круг угол, равный $36^{\circ}$, и радиус круга $r = 5$. Требуется найти площадь сектора, ограниченного центральным углом, который опирается на ту же дугу, что и вписанный угол.

Для нахождения площади сектора необходимо знать его центральный угол $\alpha$. По свойству углов в окружности, центральный угол в два раза больше вписанного угла, если они опираются на одну и ту же дугу.

Найдем величину центрального угла $\alpha$:
$\alpha = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$

Теперь воспользуемся формулой для вычисления площади сектора, которая дана в условии:
$S = \frac{\pi r^2}{360^{\circ}} \cdot \alpha$

Подставим в эту формулу известные значения радиуса $r=5$ и центрального угла $\alpha=72^{\circ}$:
$S = \frac{\pi \cdot 5^2}{360^{\circ}} \cdot 72^{\circ}$
$S = \frac{25\pi}{360} \cdot 72$

Выполним вычисления. Сначала можно сократить дробь $\frac{72}{360}$:
$\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$
Теперь подставим полученное значение в выражение для площади:
$S = 25\pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{25\pi}{5} = 5\pi$

Ответ: $5\pi$