Номер 46, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

46. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 150°, 135°, 120°

150° 135° 120°

sin α: $1/2$, $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos α: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{1}{2}$

tg α: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $-1$, $-\sqrt{3}$

ctg α: $-\sqrt{3}$, $-1$, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Используя формулы

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$,

$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$,

$\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$,

$\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha$,

найдите значение выражения

$\frac{\sqrt{2} \cos 135^\circ - 6 \sin 150^\circ}{\operatorname{tg} 135^\circ + \operatorname{ctg} 135^\circ}$.

Для решения задачи необходимо найти значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{2} \cos 135^\circ - 6 \sin 150^\circ}{\text{tg } 135^\circ + \text{ctg } 135^\circ} $$

Для этого воспользуемся значениями тригонометрических функций, приведенными в таблице в условии задачи.

1. Найдем необходимые значения из таблицы:

• Для угла $150^\circ$: $ \sin 150^\circ = \frac{1}{2} $
• Для угла $135^\circ$: $ \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \text{tg } 135^\circ = -1 $, $ \text{ctg } 135^\circ = -1 $

2. Подставим эти значения в исходное выражение.

Сначала вычислим числитель:

$$ \sqrt{2} \cos 135^\circ - 6 \sin 150^\circ = \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 6 \cdot \frac{1}{2} $$

Упростим полученное выражение:

$$ -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{2}{2} - 3 = -1 - 3 = -4 $$

Теперь вычислим знаменатель:

$$ \text{tg } 135^\circ + \text{ctg } 135^\circ = (-1) + (-1) = -2 $$

3. Найдем значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:

$$ \frac{-4}{-2} = 2 $$

Ответ: 2