Номер 43, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

43. Формулы, связывающие стороны правильного треугольника, четырехугольника, шестиугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей

$R$ $r$

$a_3$ $R\sqrt{3}$ $2r\sqrt{3}$

$a_4$ $R\sqrt{2}$ $2r$

$a_6$ $R$ $\frac{2r}{\sqrt{3}}$

Длина окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равна $24\pi$. Найдите длину окружности, описанной около треугольника.

Пусть $r$ — это радиус вписанной окружности, а $R$ — радиус описанной окружности. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi \cdot (\text{радиус})$.

1. Найдем радиус вписанной окружности ($r$).

По условию, длина вписанной окружности $C_{вп}$ равна $24\pi$. Используя формулу длины окружности, получаем:

$C_{вп} = 2\pi r$

$24\pi = 2\pi r$

Чтобы найти $r$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$

2. Найдем радиус описанной окружности ($R$).

Для равностороннего треугольника существует простое соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей: $R = 2r$.

Это соотношение можно также получить из представленной таблицы. Для правильного треугольника (со стороной $a_3$) верны формулы:

$a_3 = R\sqrt{3}$ и $a_3 = 2r\sqrt{3}$

Приравнивая правые части, получаем:

$R\sqrt{3} = 2r\sqrt{3}$

Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получаем $R = 2r$.

Теперь подставим найденное значение $r = 12$:

$R = 2 \cdot 12 = 24$

3. Найдем длину описанной окружности ($C_{оп}$).

Используем формулу длины окружности с радиусом $R$:

$C_{оп} = 2\pi R$

Подставим значение $R = 24$:

$C_{оп} = 2\pi \cdot 24 = 48\pi$

Ответ: $48\pi$.