Номер 41, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

41. Площадь равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями

У равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии $ (h = m) $ и $ S = h^2 = m^2 $.

У равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Площадь трапеции равна $144 \text{ см}^2$. Найдите:

а) высоту трапеции;

б) среднюю линию трапеции.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями. Ключевое свойство такой трапеции заключается в том, что ее высота равна ее средней линии. Давайте сначала докажем это свойство.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Обозначим высоту трапеции как $h$, а среднюю линию как $m$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = m \cdot h = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до ее пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$. Мы получим четырехугольник $BCED$. Так как $BC \parallel DE$ (по построению) и $CE \parallel BD$ (по построению), $BCED$ является параллелограммом. Из этого следует, что $DE = BC$ и $CE = BD$.

Рассмотрим треугольник $ACE$. Его площадь равна площади трапеции $ABCD$, так как у них общая высота $h$ (высота из вершины $C$ на прямую $AE$), а основание треугольника $AE = AD + DE = AD + BC$, что делает формулу площади треугольника $S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$ идентичной формуле площади трапеции.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, ее диагонали равны: $AC = BD$. Учитывая, что $CE = BD$, мы получаем $AC = CE$. Это означает, что треугольник $ACE$ — равнобедренный. По условию задачи, диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \perp BD$. Поскольку $CE \parallel BD$, то и $AC \perp CE$. Таким образом, треугольник $ACE$ является не просто равнобедренным, а прямоугольным равнобедренным треугольником с прямым углом при вершине $C$.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В нашем случае $h$ — это высота к гипотенузе $AE$. Следовательно, $h = \frac{AE}{2}$.

Подставим $AE = AD + BC$:
$h = \frac{AD+BC}{2}$.

По определению, средняя линия трапеции $m$ также равна полусумме оснований: $m = \frac{AD+BC}{2}$.

Сравнивая выражения для $h$ и $m$, мы приходим к выводу, что для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии: $h = m$.

Тогда площадь такой трапеции можно выразить как $S = m \cdot h = h \cdot h = h^2$, или $S = m \cdot m = m^2$.

Теперь, используя это свойство, решим задачу. По условию, площадь трапеции $S = 144 \text{ см}^2$.

а) высоту трапеции;
Используем формулу площади $S = h^2$, где $h$ — высота трапеции.
Подставляем известное значение площади:
$144 = h^2$
Чтобы найти $h$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$h = \sqrt{144}$
$h = 12 \text{ см}$ (высота является геометрической величиной, поэтому ее значение положительно).
Ответ: 12 см.

б) среднюю линию трапеции.
Мы доказали, что в данном типе трапеции высота равна средней линии: $m = h$.
Так как мы уже нашли, что $h = 12 \text{ см}$, то и средняя линия $m = 12 \text{ см}$.
Также можно найти среднюю линию напрямую из формулы площади $S = m^2$:
$144 = m^2$
$m = \sqrt{144}$
$m = 12 \text{ см}$ (длина средней линии также является положительной величиной).
Ответ: 12 см.