Номер 45, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

45. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$

sin $\alpha$

$30^\circ$: $\frac{1}{2}$

$45^\circ$: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$60^\circ$: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos $\alpha$

$30^\circ$: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$45^\circ$: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$60^\circ$: $\frac{1}{2}$

tg $\alpha$

$30^\circ$: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$45^\circ$: $1$

$60^\circ$: $\sqrt{3}$

ctg $\alpha$

$30^\circ$: $\sqrt{3}$

$45^\circ$: $1$

$60^\circ$: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Вычислите:

$\sqrt{6} \text{ tg } 60^\circ \cdot \text{ sin } 45^\circ + 4 \text{ cos } 30^\circ$.

Для решения данной задачи необходимо вычислить значение выражения $\sqrt{6} \cdot \text{tg} 60^\circ \cdot \sin 45^\circ + 4 \cdot \cos 30^\circ$. Воспользуемся значениями тригонометрических функций, которые приведены в таблице.

Из таблицы находим:

$\text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\sqrt{6} \cdot \text{tg} 60^\circ \cdot \sin 45^\circ + 4 \cdot \cos 30^\circ = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполним вычисления пошагово.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$:

Используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, получаем:

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6 \cdot 3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{18} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{18 \cdot 2}}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Упростим второе слагаемое $4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Сокращаем 4 и 2:

$4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

3. Сложим полученные результаты:

$3 + 2\sqrt{3}$.

Дальнейшее упрощение невозможно, так как одно слагаемое является рациональным числом, а второе — иррациональным.

Ответ: $3 + 2\sqrt{3}$.