Номер 39, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

39. Формула площади трапеции

$S = \frac{a+b}{2}h = mh,$

где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота,

$m$ — средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции равна 19, а боковая сторона $AB$, равная 10, образует с основанием $BC$ угол в $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия, а $h$ — высота. По условию, средняя линия $m = 19$. Таким образом, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Боковая сторона $AB = 10$, а угол, который она образует с основанием $BC$, равен $\angle ABC = 150^\circ$. Основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), поэтому сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$. Отсюда находим угол при основании $AD$: $\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB$ равна 10, а угол $\angle BAH$ равен $30^\circ$. Высота трапеции $h$ равна катету $BH$, который лежит напротив угла в $30^\circ$.

По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $h = BH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Теперь, зная высоту и среднюю линию, вычисляем площадь трапеции: $S = m \cdot h = 19 \cdot 5 = 95$.

Ответ: 95