Номер 32, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

32. Формулы площади параллелограмма

$S = ah_a;$

$S = ab\sin\alpha.$

Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол $45^\circ$. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки $3$ см и $8$ см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $\angle A$ — острый угол, а $\angle B$ — тупой. Из вершины тупого угла $B$ проведены две высоты: $BH$ на сторону $AD$ и $BL$ на сторону $CD$.

По условию задачи, угол между этими высотами составляет $45^\circ$, то есть $\angle HBL = 45^\circ$. Высота $BH$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 3$ см и $HD = 8$ см.

Для нахождения площади параллелограмма воспользуемся формулой $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае $a = AD$ и $h_a = BH$.

1. Найдем связь между углом параллелограмма и углом между высотами.

Рассмотрим четырехугольник, образованный пересечением прямых. Так как $BL$ является высотой к стороне $CD$, то $BL \perp CD$. Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны параллельны ($AB \parallel CD$), то высота $BL$ также перпендикулярна прямой $AB$. Следовательно, угол между прямой $AB$ и высотой $BL$ равен $90^\circ$, то есть $\angle ABL = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ ($\angle BHA = 90^\circ$, так как $BH$ - высота). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, отсюда следует, что $\angle ABH + \angle A = 90^\circ$. Выразим $\angle ABH$: $\angle ABH = 90^\circ - \angle A$.

Угол между высотами $\angle HBL$ можно представить как разность углов $\angle ABL$ и $\angle ABH$:

$\angle HBL = \angle ABL - \angle ABH$

Подставим полученные выражения:

$\angle HBL = 90^\circ - (90^\circ - \angle A) = 90^\circ - 90^\circ + \angle A = \angle A$.

Таким образом, острый угол параллелограмма ($\angle A$) равен углу между высотами, проведенными из вершины тупого угла. Из условия $\angle HBL = 45^\circ$, значит, и острый угол параллелограмма $\angle A = 45^\circ$.

2. Найдем высоту и основание параллелограмма.

Снова обратимся к прямоугольному треугольнику $\triangle ABH$. Мы установили, что $\angle A = 45^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку два угла в треугольнике $\triangle ABH$ равны, он является равнобедренным, а значит его катеты равны: $BH = AH$.

По условию, $AH = 3$ см, следовательно, высота $h_a = BH = 3$ см.

Основание $a = AD$ равно сумме отрезков, на которые его делит высота $BH$:

$AD = AH + HD = 3 \text{ см} + 8 \text{ см} = 11 \text{ см}$.

3. Найдем площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

$S = AD \cdot BH = 11 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 33 \text{ см}^2$.

Ответ: 33 см².