Номер 28, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28. Теорема о четырехугольнике, описанном около окружности. Формула площади четырехугольника через радиус вписанной окружности

Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны.

$S = pr.$

Сумма двух противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равна 12 см, а площадь данного четырехугольника — $36 \text{ см}^2$. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи необходимо использовать теорему о свойствах сторон четырехугольника, описанного около окружности, и формулу для его площади через радиус вписанной окружности.

1. Нахождение периметра четырехугольника.

Согласно теореме о четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин его противоположных сторон равны. Обозначим стороны четырехугольника как $a, b, c, d$. Тогда справедливо равенство: $a + c = b + d$.

По условию, сумма двух противоположных сторон равна 12 см. Пусть $a + c = 12$ см. Следовательно, сумма двух других противоположных сторон $b + d$ также равна 12 см.

Периметр $P$ четырехугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P = (a + c) + (b + d) = 12 + 12 = 24$ см.

2. Использование формулы площади.

Площадь $S$ четырехугольника, в который можно вписать окружность, вычисляется по формуле:

$S = p \cdot r$

где $p$ — это полупериметр четырехугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

3. Вычисление радиуса.

Из условия задачи нам известна площадь $S = 36$ см². Подставим известные значения площади и полупериметра в формулу:

$36 = 12 \cdot r$

Теперь выразим и найдем радиус $r$:

$r = \frac{36}{12} = 3$ см.

Ответ: радиус окружности равен 3 см.