Номер 22, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен $\frac{4}{5}$. Найдите синус и тангенс этого угла.

Пусть $\alpha$ — это заданный острый угол прямоугольного треугольника. По условию, нам известен его косинус:
$cos(\alpha) = \frac{4}{5}$
Нам необходимо найти синус ($sin(\alpha)$) и тангенс ($tan(\alpha)$) этого угла.

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного и того же угла:
$sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$
Подставим в эту формулу известное значение $cos(\alpha)$:
$sin^2(\alpha) + (\frac{4}{5})^2 = 1$
$sin^2(\alpha) + \frac{16}{25} = 1$
Выразим $sin^2(\alpha)$:
$sin^2(\alpha) = 1 - \frac{16}{25}$
$sin^2(\alpha) = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}$
$sin^2(\alpha) = \frac{9}{25}$
Так как по условию угол $\alpha$ является острым (от 0° до 90°), его синус будет положительным числом. Поэтому, извлекая квадратный корень, мы берем только положительное значение:
$sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$
Ответ: $sin(\alpha) = \frac{3}{5}$.

Тангенс угла можно определить через отношение его синуса к косинусу:
$tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$
Теперь, когда мы знаем и синус, и косинус, подставим их значения в формулу:
$tan(\alpha) = \frac{3/5}{4/5}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$tan(\alpha) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{3}{4}$
Ответ: $tan(\alpha) = \frac{3}{4}$.