Номер 18, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18. Теорема о сумме острых углов прямоугольного треугольника

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

Острые углы прямоугольного треугольника относятся как $1:8$. Найдите наименьший угол треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Один из его углов прямой и равен $90^\circ$. Два других угла — острые. Обозначим их как $\alpha$ и $\beta$.

Согласно теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника, их сумма равна $90^\circ$:
$\alpha + \beta = 90^\circ$

По условию задачи, эти острые углы относятся как $1 : 8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда один острый угол можно обозначить как $1 \cdot x = x$, а второй — как $8 \cdot x = 8x$.

Составим уравнение, подставив эти выражения в формулу суммы острых углов: $x + 8x = 90^\circ$

Решим полученное уравнение: $9x = 90^\circ$
$x = \frac{90^\circ}{9}$
$x = 10^\circ$

Теперь найдем величины острых углов:
Первый острый угол (меньший): $x = 10^\circ$
Второй острый угол (больший): $8x = 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $10^\circ$, $80^\circ$ и $90^\circ$.

Требуется найти наименьший угол треугольника. Сравнивая три угла ($10^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$), видим, что наименьшим является угол $10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.