Номер 19, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 15, больший острый угол равен $60^\circ$. Найдите длину меньшего катета.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого медиана, проведенная к гипотенузе, равна 15. Обозначим эту медиану как $m$. Таким образом, $m = 15$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла (то есть к гипотенузе), равна половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу как $c$. Тогда справедливо соотношение:

$m = \frac{c}{2}$

Используя данное значение медианы, найдем длину гипотенузы:

$c = 2 \cdot m = 2 \cdot 15 = 30$

Таким образом, длина гипотенузы равна 30.

По условию, больший острый угол треугольника равен $60°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $90°$. Следовательно, меньший острый угол равен:

$90° - 60° = 30°$

Нам нужно найти длину меньшего катета. В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Следовательно, меньший катет лежит напротив угла в $30°$.

Воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Обозначим меньший катет как $a$.

$a = \frac{c}{2}$

Подставим найденное значение гипотенузы:

$a = \frac{30}{2} = 15$

Также можно было найти катет, используя тригонометрические функции. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(30°) = \frac{a}{c}$

Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{a}{30}$

Отсюда $a = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15.