Номер 14, страница 204 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14. Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{22}$ см, а катет $BC$ равен 6 см. Найдите длину медианы $BK$.

В условии дан прямоугольный треугольник ABC, в котором AB — гипотенуза. Это означает, что угол C — прямой ($\angle C = 90^\circ$), а AC и BC — катеты. Нам известны длины гипотенузы $AB = 2\sqrt{22}$ см и катета $BC = 6$ см.

1. Найдём длину катета AC.
Воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($AB^2 = AC^2 + BC^2$).
Подставим известные значения в формулу:
$(2\sqrt{22})^2 = AC^2 + 6^2$
$4 \cdot 22 = AC^2 + 36$
$88 = AC^2 + 36$
Теперь выразим $AC^2$:
$AC^2 = 88 - 36$
$AC^2 = 52$
Найдём длину катета AC:
$AC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

2. Найдём длину медианы BK.
Медиана BK проведена из вершины B к стороне AC. По определению, медиана делит противоположную сторону пополам, значит, точка K — середина катета AC.
Найдём длину отрезка CK:
$CK = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$ см.
Теперь рассмотрим треугольник BKC. Так как $\angle C = 90^\circ$, этот треугольник также является прямоугольным. В нём стороны BC и CK являются катетами, а искомая медиана BK — гипотенузой.
Снова применим теорему Пифагора для треугольника BKC: $BK^2 = BC^2 + CK^2$.
Подставим значения длин катетов BC и CK:
$BK^2 = 6^2 + (\sqrt{13})^2$
$BK^2 = 36 + 13$
$BK^2 = 49$
Найдём длину гипотенузы BK, взяв квадратный корень:
$BK = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.