Номер 21, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21. Формулы площади прямоугольного треугольника

$S_{\triangle ABC} = \frac{ab}{2}$; $S_{\triangle ABC} = \frac{ch}{2}$.

Вычислите длину высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, если его катеты равны 9 и 12.

Для решения этой задачи мы можем вычислить площадь прямоугольного треугольника двумя способами и приравнять полученные выражения. Пусть катеты треугольника равны $a = 9$ и $b = 12$. Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, обозначена как $h$. Гипотенуза обозначена как $c$.

1. Находим гипотенузу $c$ по теореме Пифагора.
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $c^2 = a^2 + b^2$.
Подставляем известные значения катетов: $c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$c = \sqrt{225} = 15$

2. Приравниваем формулы площади.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов: $S = \frac{ab}{2}$.
Также площадь можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{ch}{2}$.
Так как это площадь одного и того же треугольника, мы можем записать равенство: $\frac{ab}{2} = \frac{ch}{2}$
Умножим обе части на 2: $ab = ch$

3. Вычисляем высоту $h$.
Выразим $h$ из полученного равенства: $h = \frac{ab}{c}$
Подставим известные значения $a$, $b$ и $c$: $h = \frac{9 \times 12}{15} = \frac{108}{15}$
Сократим дробь на 3: $h = \frac{36}{5} = 7.2$

Ответ: 7.2