Номер 27, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27. Формула площади произвольного четырехугольника

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi,$

где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, $\varphi$ — угол между ними.

Одна из диагоналей четырехугольника на 1 см больше второй диагонали. Площадь четырехугольника равна $2 \text{ см}^2$, а синус угла между диагоналями равен $\frac{1}{3}$. Найдите длину меньшей диагонали четырехугольника.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади произвольного четырехугольника: $S = \frac{1}{2}d_1d_2 \sin\phi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\phi$ — угол между ними.

Обозначим длину меньшей диагонали как $d_1$. Согласно условию, одна из диагоналей на 1 см больше другой, значит, длина большей диагонали будет $d_2 = d_1 + 1$ см.

Из условия задачи также даны следующие значения:

• Площадь четырехугольника $S = 2 \text{ см}^2$.
• Синус угла между диагоналями $\sin\phi = \frac{1}{3}$.

Подставим эти значения и выражения для диагоналей в формулу площади:

$2 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot (d_1 + 1) \cdot \frac{1}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $d_1$. Сначала упростим правую часть:

$2 = \frac{d_1(d_1 + 1)}{6}$

Умножим обе части уравнения на 6:

$12 = d_1(d_1 + 1)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$12 = d_1^2 + d_1$
$d_1^2 + d_1 - 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Корни уравнения вычисляются по формуле $d_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$d_{1,1} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$d_{1,2} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку длина диагонали является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Поэтому мы отбрасываем корень $d_1 = -4$.

Таким образом, длина меньшей диагонали равна 3 см.

Ответ: 3 см.