Номер 26, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26. Теорема о сумме внутренних углов четырехугольника

Сумма внутренних углов произвольного четырехугольника равна $360^{\circ}$.

Известно, что в четырехугольнике ABCD $\angle A = 74^{\circ}$, $\angle D = 120^{\circ}$. Найдите тупой угол между биссектрисами углов $B$ и $C$.

Согласно теореме о сумме внутренних углов четырехугольника, сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ это можно записать в виде формулы:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

По условию задачи нам известны величины двух углов: $\angle A = 74^\circ$ и $\angle D = 120^\circ$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти сумму двух других углов, $\angle B$ и $\angle C$:
$74^\circ + \angle B + \angle C + 120^\circ = 360^\circ$
$\angle B + \angle C + 194^\circ = 360^\circ$
$\angle B + \angle C = 360^\circ - 194^\circ$
$\angle B + \angle C = 166^\circ$

Пусть биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $K$. Эти биссектрисы вместе со стороной $BC$ образуют треугольник $BKC$.

Так как $BK$ — биссектриса угла $\angle B$, то угол $\angle KBC$ равен половине угла $\angle B$: $\angle KBC = \frac{1}{2}\angle B$.
Аналогично, так как $CK$ — биссектриса угла $\angle C$, то угол $\angle KCB$ равен половине угла $\angle C$: $\angle KCB = \frac{1}{2}\angle C$.

Найдем сумму углов $\angle KBC$ и $\angle KCB$ в треугольнике $BKC$:
$\angle KBC + \angle KCB = \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
Подставим ранее найденное значение суммы $\angle B + \angle C = 166^\circ$:
$\angle KBC + \angle KCB = \frac{1}{2}(166^\circ) = 83^\circ$

Сумма всех углов в треугольнике $BKC$ равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем угол $\angle BKC$:
$\angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^\circ$
$\angle BKC + 83^\circ = 180^\circ$
$\angle BKC = 180^\circ - 83^\circ = 97^\circ$

Биссектрисы при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $97^\circ$. Другая пара смежных с ними углов равна $180^\circ - 97^\circ = 83^\circ$.
По условию требуется найти тупой угол, то есть угол, который больше $90^\circ$. Сравнивая $97^\circ$ и $83^\circ$, выбираем больший.

Ответ: $97^\circ$.