Номер 24, страница 207 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24. Расстояние от точки до прямой

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой.

Точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $a$. Расстояние от точки $A$ до этой прямой равно 6 см, а от точки $B$ — 4 см. Может ли расстояние между точками $A$ и $B$ быть равным 8 см?

Пусть $a$ — данная прямая. Опустим перпендикуляры из точек $A$ и $B$ на прямую $a$. Назовем основания этих перпендикуляров $H_A$ и $H_B$ соответственно.

Согласно определению расстояния от точки до прямой, длины этих перпендикуляров равны заданным расстояниям:
$AH_A = 6$ см,
$BH_B = 4$ см.

По условию, точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $a$. Для того чтобы найти расстояние между точками $A$ и $B$ (длину отрезка $AB$), рассмотрим геометрическую конструкцию.

Проведем через точку $A$ прямую, параллельную прямой $a$. Затем продлим перпендикуляр $BH_B$ до пересечения с этой новой прямой в точке $C$. В результате мы получим прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $C$ — прямой.

Найдем длины катетов этого треугольника:
1. Катет $AC$ равен по длине отрезку $H_A H_B$ (расстоянию между основаниями перпендикуляров на прямой $a$), так как четырехугольник $AH_A H_B C$ является прямоугольником. Обозначим это расстояние как $x$. Тогда $AC = x$. Поскольку $x$ — это расстояние, $x \ge 0$.
2. Катет $BC$ состоит из двух частей: отрезка $BH_B$ и отрезка $H_B C$. Длина $H_B C$ равна длине $AH_A$, то есть 6 см. Таким образом, длина катета $BC$ равна сумме расстояний от точек $A$ и $B$ до прямой $a$:
$BC = BH_B + H_B C = 4 \text{ см} + 6 \text{ см} = 10$ см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Подставим известные нам значения:
$AB^2 = x^2 + 10^2$
$AB^2 = x^2 + 100$

Из этого уравнения видно, что наименьшее значение $AB^2$ достигается при $x=0$ (когда точки $A$ и $B$ находятся на одной прямой, перпендикулярной $a$). В этом случае $AB^2 = 100$, а $AB = 10$ см. При любом $x > 0$ расстояние $AB$ будет больше 10 см. Следовательно, минимально возможное расстояние между точками $A$ и $B$ равно 10 см.

Вопрос задачи: может ли расстояние между точками $A$ и $B$ быть равным 8 см?
Поскольку мы установили, что $AB \ge 10$ см, а $8 < 10$, то расстояние между точками $A$ и $B$ не может быть равным 8 см.

Если бы мы подставили $AB = 8$ в наше уравнение:
$8^2 = x^2 + 100$
$64 = x^2 + 100$
$x^2 = 64 - 100 = -36$
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Это подтверждает наш вывод.

Ответ: нет, не может.