Номер 17, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17. Свойства прямоугольных треугольников с углами 30° и 45°

1. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

2. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.

3. Если в прямоугольном треугольнике с углом 30° меньший катет равен $a$, то больший катет равен $a\sqrt{3}$.

4. Если в равнобедренном прямоугольном треугольнике катет равен $a$, то гипотенуза равна $a\sqrt{2}$.

a) В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен 60°, а гипотенуза $AB$ равна 4 см. Найдите $BC, AC$ и площадь треугольника $ABC$.

б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна 14 см. Найдите катеты этого треугольника.

а)

Дан прямоугольный треугольник $ABC$. По условию, угол $\angle B = 60^\circ$ и гипотенуза $AB = 4$ см. Так как треугольник прямоугольный, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть это будет угол $C$, т.е. $\angle C = 90^\circ$.

1. Найдем углы треугольника.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, угол $A$ можно найти так: $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

2. Найдем катет $BC$.
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, равного $30^\circ$. Согласно свойству прямоугольного треугольника (свойство 1 в списке), катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

3. Найдем катет $AC$.
Катет $AC$ лежит напротив угла $B$ в $60^\circ$. Мы можем найти его длину, используя теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $AC^2 + 2^2 = 4^2$
$AC^2 + 4 = 16$
$AC^2 = 16 - 4 = 12$
$AC = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.
Также можно было использовать свойство 3 из списка: меньший катет ($BC$, лежащий против угла $30^\circ$) равен $a=2$ см, тогда больший катет ($AC$, лежащий против угла $60^\circ$) равен $a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

4. Найдем площадь треугольника $ABC$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см².

Ответ: $BC = 2$ см, $AC = 2\sqrt{3}$ см, площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{3}$ см².

б)

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Это означает, что два его катета равны, а острые углы равны по $45^\circ$. Пусть это будет треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$) и равными катетами $AC = BC$.

Из вершины прямого угла $C$ проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. По условию, $CH = 14$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию (в нашем случае, к гипотенузе $AB$), является также медианой и биссектрисой.

1. Используем свойство медианы к гипотенузе.
Так как $CH$ является медианой, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы. $CH = \frac{1}{2} AB$. Отсюда мы можем найти длину гипотенузы $AB$: $AB = 2 \cdot CH = 2 \cdot 14 = 28$ см.

2. Найдем катеты.
Пусть длина равных катетов $AC$ и $BC$ равна $a$. По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$
$a^2 + a^2 = 28^2$
$2a^2 = 784$
$a^2 = \frac{784}{2} = 392$
$a = \sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2}$ см.

Можно было также использовать свойство 4 из списка: если катет равен $a$, то гипотенуза равна $a\sqrt{2}$. $AB = a\sqrt{2}$
$28 = a\sqrt{2}$
$a = \frac{28}{\sqrt{2}} = \frac{28\sqrt{2}}{2} = 14\sqrt{2}$ см.

Ответ: катеты этого треугольника равны $14\sqrt{2}$ см.