Номер 10, страница 203 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10. Теорема о центре описанной окружности (расположение центра описанной около треугольника окружности для разных видов треугольников)

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.

1) Центр описанной около остроугольного треугольника окружности находится внутри треугольника.

2) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы.

3) Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности находится вне треугольника.

Стороны треугольника равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей этого треугольника.

Для решения задачи, где стороны треугольника равны $a = 7$ см, $b = 15$ см и $c = 20$ см, необходимо найти радиусы вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей.

Для начала найдем площадь треугольника ($S$) и его полупериметр ($p$), так как они используются в обеих формулах.

1. Вычисление полупериметра (p)

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон треугольника.

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычисление площади (S)

Площадь треугольника удобно вычислить по формуле Герона, так как известны все три стороны.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Подставим известные значения:

$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$

Для удобства вычисления корня разложим числа под ним на простые множители:

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 1} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ см².

Теперь, зная площадь и полупериметр, мы можем найти искомые радиусы.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ($r$) вычисляется по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

Подставим найденные значения $S = 42$ и $p = 21$:

$r = \frac{42}{21} = 2$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности ($R$) вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставим известные значения $a=7, b=15, c=20$ и $S=42$:

$R = \frac{7 \cdot 15 \cdot 20}{4 \cdot 42} = \frac{2100}{168}$

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{7 \cdot 15 \cdot 20}{4 \cdot 42} = \frac{7 \cdot 15 \cdot 5}{42} = \frac{1 \cdot 15 \cdot 5}{6} = \frac{15 \cdot 5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ см.

Ответ: радиус описанной окружности равен 12,5 см.