Номер 3, страница 200 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3. Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R.$

Используя данные рисунка,

вычислите длину стороны $KE$.

Для решения этой задачи необходимо использовать теорему синусов. Эта теорема утверждает, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной. Для треугольника FKE, изображенного на рисунке, это можно записать так:

$ \frac{KE}{\sin(\angle KFE)} = \frac{FE}{\sin(\angle FKE)} = \frac{FK}{\sin(\angle FEK)} $

По условию задачи нам известны: длина стороны $FE = \sqrt{2}$, а также два угла треугольника: $\angle FKE = 135^\circ$ и $\angle FEK = 15^\circ$. Нам нужно найти длину стороны KE.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle KFE$, который лежит напротив искомой стороны KE. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$, поэтому:

$ \angle KFE = 180^\circ - (\angle FKE + \angle FEK) $

$ \angle KFE = 180^\circ - (135^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $

Теперь, когда мы знаем все углы, мы можем использовать теорему синусов для нахождения длины стороны KE. Возьмем из теоремы синусов соотношение, связывающее искомую сторону KE и известную сторону FE:

$ \frac{KE}{\sin(\angle KFE)} = \frac{FE}{\sin(\angle FKE)} $

Подставим в это уравнение известные нам значения:

$ \frac{KE}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(135^\circ)} $

Чтобы найти KE, выразим его из этого уравнения:

$ KE = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(135^\circ)} $

Для вычисления нам понадобятся значения синусов. Известно, что $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $. Для вычисления $ \sin(135^\circ) $ воспользуемся формулой приведения: $ \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим эти значения в нашу формулу:

$ KE = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $

Упростим выражение:

$ KE = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 $

Таким образом, длина стороны KE равна 1.

Ответ: 1.