Номер 101, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

101. a) Вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCK$ лежат на окружности, прямая $AK$ касается этой окружности, а сторона $CK$ пересекает окружность в точке $P$ и делит этой точкой в отношении $2 : 1$, считая от вершины $K$. Найдите сумму квадратов диагоналей параллелограмма, если сторона $BC$ равна $2\sqrt{6}$.

б) Вершины $K$, $P$ и $E$ параллелограмма $KPTE$ лежат на окружности, прямая $TP$ касается этой окружности, а сторона $TE$ пересекает окружность в точке $M$ и делится этой точкой в отношении $5 : 1$, считая от вершины $E$. Найдите сумму квадратов диагоналей параллелограмма, если сторона $KP$ равна $12$.

а)

Поскольку $ABCK$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AK$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle KAC = \angle BCA$.

По условию, прямая $AK$ касается окружности в точке $A$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $AK$ и хордой $AC$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AC$. Таким вписанным углом является $\angle ABC$. Следовательно, $\angle KAC = \angle ABC$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle BCA = \angle ABC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Так как $ABCK$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $AB = CK$. Отсюда получаем, что $AC = CK$.

Рассмотрим точку $K$ и окружность. Из точки $K$ к окружности проведены касательная $AK$ и секущая $KC$, пересекающая окружность в точках $P$ и $C$. По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от точки $K$ до точек пересечения с окружностью: $KA^2 = KP \cdot KC$.

В параллелограмме $ABCK$ противолежащая сторона $KA$ равна $BC$. По условию $BC = 2\sqrt{6}$, значит $KA = 2\sqrt{6}$, и $KA^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$.

Точка $P$ делит сторону $CK$ в отношении $KP : PC = 2 : 1$. Обозначим $PC = x$, тогда $KP = 2x$, а вся сторона $CK = KP + PC = 3x$.

Подставим эти выражения в формулу теоремы о касательной и секущей: $24 = (2x) \cdot (3x)$ $24 = 6x^2$ $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ (длина не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины сторон параллелограмма. Сторона $CK = 3x = 3 \cdot 2 = 6$. Сторона $AB = CK = 6$. Сторона $BC = 2\sqrt{6}$.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма ($AC$ и $BK$) равна сумме квадратов всех его сторон: $AC^2 + BK^2 = 2(AB^2 + BC^2)$. $AC^2 + BK^2 = 2(6^2 + (2\sqrt{6})^2) = 2(36 + 24) = 2(60) = 120$.

Ответ: 120.

б)

Поскольку $KPTE$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $KE \parallel PT$. Прямая $PT$, содержащая сторону параллелограмма, является касательной к окружности в точке $P$.

Так как хорда $KE$ параллельна касательной $PT$, то дуги, заключенные между хордой и касательной, равны: дуга $PK$ равна дуге $PE$. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, $PK = PE$.

$PK$ — это сторона параллелограмма, а $PE$ — его диагональ. По условию, сторона $PK = 12$, значит и диагональ $PE = 12$.

Рассмотрим точку $T$ и окружность. Из точки $T$ к окружности проведены касательная $TP$ и секущая $TE$, пересекающая окружность в точках $M$ и $E$. По теореме о касательной и секущей: $TP^2 = TM \cdot TE$.

$TP$ и $TE$ — это смежные стороны параллелограмма $KPTE$. Противолежащие стороны параллелограмма равны, поэтому $TE = KP = 12$.

По условию, точка $M$ делит сторону $TE$ в отношении $EM : MT = 5 : 1$. Обозначим $MT = y$, тогда $EM = 5y$, а вся сторона $TE = EM + MT = 6y$.

Так как $TE = 12$, то $6y = 12$, откуда $y = 2$. Таким образом, $TM = 2$.

Теперь подставим известные значения в формулу теоремы о касательной и секущей: $TP^2 = TM \cdot TE = 2 \cdot 12 = 24$.

Мы нашли квадраты длин сторон параллелограмма: $KP^2 = 12^2 = 144$ и $TP^2 = 24$.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма ($PE$ и $KT$) равна сумме квадратов всех его сторон: $PE^2 + KT^2 = 2(KP^2 + PT^2)$. $PE^2 + KT^2 = 2(12^2 + 24) = 2(144 + 24) = 2(168) = 336$.

Ответ: 336.