Номер 97, страница 196 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

97. a) Из точки вне окружности к ней проведены две касательные. Угол между касательными равен $60^\circ$, а расстояние между точками касания равно $8\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности.

б) Из точки вне окружности к ней проведены две касательные. Угол между касательными равен $120^\circ$, а расстояние между точками касания равно $6\sqrt{3}$. Найдите диаметр окружности.

а)

Пусть $A$ — точка вне окружности, из которой проведены касательные, $B$ и $C$ — точки касания, а $O$ — центр окружности. Тогда $AB$ и $AC$ — отрезки касательных, а $OB$ и $OC$ — радиусы, проведенные в точки касания. По условию, угол между касательными $\angle BAC = 60^\circ$, а расстояние между точками касания $BC = 8\sqrt{3}$.

Рассмотрим четырехугольник $ABOC$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $\angle ABO = 90^\circ$ и $\angle ACO = 90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Тогда центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на хорду $BC$, равен: $\angle BOC = 360^\circ - \angle ABO - \angle ACO - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Он является равнобедренным, так как $OB = OC = r$ (радиусы окружности). Проведем в этом треугольнике высоту $OM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.

Поскольку $OM$ — медиана, она делит основание $BC$ пополам: $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Поскольку $OM$ — биссектриса, она делит угол $\angle BOC$ пополам: $\angle BOM = \angle COM = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBM$ (угол $\angle OMB = 90^\circ$). Мы можем выразить радиус $r=OB$ через известные величины. Используем синус угла $\angle BOM$: $\sin(\angle BOM) = \frac{BM}{OB}$ $\sin(60^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{r}$

Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{r}$

Отсюда находим радиус $r$: $r \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3}$ $r \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ $r = 8$

Ответ: 8

б)

Аналогично пункту а), пусть $A$ — точка вне окружности, $B$ и $C$ — точки касания, а $O$ — центр окружности. Угол между касательными $\angle BAC = 120^\circ$, расстояние между точками касания $BC = 6\sqrt{3}$.

В четырехугольнике $ABOC$ углы $\angle ABO$ и $\angle ACO$ прямые, так как радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны касательным $AB$ и $AC$ соответственно.

Найдем центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на хорду $BC$. Сумма углов четырехугольника $ABOC$ равна $360^\circ$, поэтому: $\angle BOC = 360^\circ - \angle BAC - \angle ABO - \angle ACO = 360^\circ - 120^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Он равнобедренный, так как $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности ($OB=OC=r$). Угол при вершине этого треугольника $\angle BOC = 60^\circ$.

Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $OB = OC = BC = r$.

По условию, длина хорды $BC = 6\sqrt{3}$. Значит, радиус окружности равен: $r = 6\sqrt{3}$.

Требуется найти диаметр окружности $d$. Диаметр равен двум радиусам: $d = 2r = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.

Ответ: $12\sqrt{3}$