Номер 99, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

99. a) Хорда $AB$ окружности находится на расстоянии, равном половине радиуса, от центра окружности. Через точку $B$ проведена касательная к окружности, которая пересекает продолжение ее диаметра $AP$ в точке $M$. Найдите расстояние от точки $M$ до центра окружности, если ее диаметр равен 10.
б) Хорда $AB$, длина которой равна $2\sqrt{3}$, удалена от центра окружности на расстояние, равное половине радиуса окружности. Через точку $B$ проведена касательная к окружности, которая пересекает продолжение ее диаметра $AT$ в точке $H$. Найдите расстояние от точки $H$ до точки $A$.

а)

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус. По условию, диаметр окружности равен 10, следовательно, радиус $R = 10 / 2 = 5$.

Хорда $AB$ находится на расстоянии, равном половине радиуса, от центра $O$. Обозначим это расстояние как $OK$, где $K$ — середина хорды $AB$. Тогда $OK \perp AB$ и $OK = R/2 = 5/2 = 2.5$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKB$. Гипотенуза $OB$ является радиусом окружности, поэтому $OB = R = 5$. Катет $OK = 2.5$. Найдем косинус угла $\angle KOB$:

$\cos(\angle KOB) = \frac{OK}{OB} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\angle KOB = 60^\circ$.

Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$. Высота $OK$ в нем также является биссектрисой, поэтому $\angle AOB = 2 \cdot \angle KOB = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

$AP$ — диаметр, значит точки $A$, $O$, $P$ лежат на одной прямой. Угол $\angle POB$ является смежным с углом $\angle AOB$, следовательно:

$\angle POB = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Через точку $B$ проведена касательная к окружности, которая пересекает продолжение диаметра $AP$ в точке $M$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OB \perp BM$. Таким образом, треугольник $\triangle OBM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известен катет $OB = R = 5$ и прилежащий к нему угол $\angle BOM = \angle POB = 60^\circ$. Мы ищем расстояние от точки $M$ до центра $O$, то есть длину гипотенузы $OM$.

$\cos(\angle BOM) = \frac{OB}{OM}$

$\cos(60^\circ) = \frac{5}{OM}$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{OM}$

$OM = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10.

б)

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус. Пусть $K$ — середина хорды $AB$. По условию, длина хорды $AB = 2\sqrt{3}$, значит, $KB = \frac{1}{2} AB = \sqrt{3}$. Расстояние от центра до хорды $OK = R/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKB$. По теореме Пифагора:

$OB^2 = OK^2 + KB^2$

$R^2 = (\frac{R}{2})^2 + (\sqrt{3})^2$

$R^2 = \frac{R^2}{4} + 3$

$R^2 - \frac{R^2}{4} = 3$

$\frac{3R^2}{4} = 3$

$R^2 = 4$, откуда $R=2$.

Теперь, зная радиус, найдем угол $\angle KOB$ в том же треугольнике $\triangle OKB$. У нас есть $OK = R/2 = 1$, $KB = \sqrt{3}$ и $OB = R = 2$.

$\cos(\angle KOB) = \frac{OK}{OB} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\angle KOB = 60^\circ$.

Так как $\triangle AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$) и $OK$ — его высота, то $OK$ также и биссектриса. Значит, $\angle AOB = 2 \cdot \angle KOB = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

$AT$ — диаметр, поэтому точки $A$, $O$, $T$ лежат на одной прямой. Угол $\angle TOB$ смежен с углом $\angle AOB$:

$\angle TOB = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Через точку $B$ проведена касательная, пересекающая продолжение диаметра $AT$ в точке $H$. Радиус $OB$ перпендикулярен касательной $BH$, поэтому $\triangle OBH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle OBH$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBH$ мы знаем катет $OB = R = 2$ и угол $\angle BOH = \angle TOB = 60^\circ$. Найдем гипотенузу $OH$:

$\cos(\angle BOH) = \frac{OB}{OH}$

$\cos(60^\circ) = \frac{2}{OH}$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{OH}$

$OH = 4$.

Требуется найти расстояние от точки $H$ до точки $A$, то есть длину отрезка $AH$. Точка $H$ лежит на продолжении диаметра $AT$, значит, точки расположены в порядке $A-O-T-H$. Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AO$ и $OH$.

$AH = AO + OH$

$AO$ — это радиус, $AO = R = 2$.

$AH = 2 + 4 = 6$.

Ответ: 6.