Номер 95, страница 196 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

95. a) В окружности пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны, $AD = 5$, $BC = 12$. Найдите радиус окружности.

б) В окружности радиусом $8,5$ пересекающиеся хорды $AB$ и $MK$ перпендикулярны, $MB = 15$. Найдите длину хорды $AK$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством перпендикулярных хорд. Пусть в окружности проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$. Концы этих хорд образуют вписанный четырехугольник $ACBD$. Докажем, что сумма квадратов длин противолежащих сторон этого четырехугольника равна квадрату диаметра окружности, то есть $AD^2 + BC^2 = (2R)^2$, где $R$ — радиус окружности.

Выполним дополнительное построение. Проведем через точку $D$ хорду $DE$, параллельную хорде $AB$.

1. Поскольку хорда $DE$ параллельна хорде $AB$ ($DE \parallel AB$), то дуги, заключенные между этими параллельными хордами, равны: дуга $AD$ равна дуге $BE$.

2. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, длина хорды $AD$ равна длине хорды $BE$: $AD = BE$.

3. По условию хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны ($AB \perp CD$). Так как мы построили $DE \parallel AB$, то хорда $DE$ также перпендикулярна хорде $CD$ ($DE \perp CD$). Угол между хордами $CD$ и $DE$ равен $90^\circ$.

4. Угол $\angle CDE$ является вписанным в окружность. Так как $\angle CDE = 90^\circ$, он опирается на диаметр. Следовательно, хорда $CE$ является диаметром окружности: $CE = 2R$.

5. Рассмотрим треугольник $CBE$. Угол $\angle CBE$ также является вписанным и опирается на дугу $CDE$. Так как хорда $CE$ — диаметр, дуга $CDE$ является полуокружностью, и, следовательно, вписанный угол $\angle CBE$, опирающийся на нее, равен $90^\circ$.

6. Таким образом, треугольник $CBE$ — прямоугольный с гипотенузой $CE$. По теореме Пифагора имеем: $CE^2 = BC^2 + BE^2$.

7. Подставим в это равенство $CE = 2R$ и $BE = AD$. Получаем искомую формулу: $(2R)^2 = BC^2 + AD^2$.

Теперь, используя эту доказанную формулу, решим задачу. По условию дано $AD = 5$ и $BC = 12$.

$(2R)^2 = 12^2 + 5^2$

$(2R)^2 = 144 + 25$

$(2R)^2 = 169$

$2R = \sqrt{169}$

$2R = 13$

$R = \frac{13}{2} = 6,5$

Ответ: 6,5.

В этой задаче даны перпендикулярные хорды $AB$ и $MK$. Концы этих хорд $A, B, M, K$ образуют вписанный четырехугольник $AMBK$. Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством, что сумма квадратов длин противолежащих сторон такого четырехугольника равна квадрату диаметра. Для сторон $AK$ и $MB$ это свойство записывается как $AK^2 + MB^2 = (2R)^2$.

Это соотношение было доказано в решении пункта а).

По условию задачи радиус окружности $R = 8,5$, а длина хорды $MB = 15$.

Найдем диаметр окружности: $2R = 2 \times 8,5 = 17$.

Подставим известные значения в формулу $AK^2 + MB^2 = (2R)^2$:

$AK^2 + 15^2 = 17^2$

$AK^2 + 225 = 289$

$AK^2 = 289 - 225$

$AK^2 = 64$

$AK = \sqrt{64}$

$AK = 8$

Ответ: 8.