Номер 93, страница 195 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

93. a) Хорды $MT$ и $PK$ пересекаются в точке $A$, угол $MAP$ равен $15^\circ$. Найдите градусную меру дуги $MP$, если она меньше градусной меры дуги $TK$ в два раза.

б) Хорды $AE$ и $OC$ пересекаются в точке $B$, угол $OBA$ равен $40^\circ$. Найдите градусную меру дуги $OA$, если она на $10^\circ$ больше градусной меры дуги $CE$.

а) Угол, образованный двумя пересекающимися хордами, равен половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. В данном случае, хорды $MT$ и $PK$ пересекаются в точке $A$. Угол $\angle MAP$ и вертикальный ему угол $\angle TAK$ опираются на дуги $MP$ и $TK$ соответственно.

Согласно теореме об угле между пересекающимися хордами:

$\angle MAP = \frac{1}{2} (\text{дуга } MP + \text{дуга } TK)$

По условию задачи, $\angle MAP = 15^\circ$. Также известно, что градусная мера дуги $MP$ меньше градусной меры дуги $TK$ в два раза. Обозначим градусную меру дуги $MP$ как $x$. Тогда градусная мера дуги $TK$ будет равна $2x$.

Подставим известные значения в формулу:

$15^\circ = \frac{1}{2} (x + 2x)$

Решим полученное уравнение:

$15^\circ = \frac{1}{2} (3x)$

$30^\circ = 3x$

$x = \frac{30^\circ}{3}$

$x = 10^\circ$

Таким образом, градусная мера дуги $MP$ равна $10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$

б) Аналогично предыдущей задаче, используем теорему об угле между двумя пересекающимися хордами. Хорды $AE$ и $OC$ пересекаются в точке $B$. Угол $\angle OBA$ и вертикальный ему угол $\angle CBE$ опираются на дуги $OA$ и $CE$ соответственно.

Формула для угла между хордами:

$\angle OBA = \frac{1}{2} (\text{дуга } OA + \text{дуга } CE)$

По условию, $\angle OBA = 40^\circ$. Также дано, что градусная мера дуги $OA$ на $10^\circ$ больше градусной меры дуги $CE$. Обозначим градусную меру дуги $CE$ как $y$. Тогда градусная мера дуги $OA$ будет равна $y + 10^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$40^\circ = \frac{1}{2} ((y + 10^\circ) + y)$

Решим полученное уравнение:

$40^\circ = \frac{1}{2} (2y + 10^\circ)$

$80^\circ = 2y + 10^\circ$

$2y = 80^\circ - 10^\circ$

$2y = 70^\circ$

$y = 35^\circ$

Мы нашли градусную меру дуги $CE$, она равна $35^\circ$. Теперь найдем градусную меру дуги $OA$:

$\text{дуга } OA = y + 10^\circ = 35^\circ + 10^\circ = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$