Номер 87, страница 194 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

87. а) Точка удалена от центра окружности на 4 и делит хорду этой окружности на отрезки 6 и 8. Найдите радиус окружности.

б) Точка делит хорду окружности на отрезки 2 и 8. Расстояние от этой точки до центра окружности равно 3. Найдите диаметр окружности.

а)

Для решения данной задачи используется теорема о степени точки относительно окружности, которая в данном случае сводится к теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Пусть $R$ — искомый радиус окружности, а $O$ — её центр. Пусть точка $P$ удалена от центра на расстояние $d = 4$ и делит хорду $AB$ на отрезки $PA = 6$ и $PB = 8$.

Проведем через точку $P$ диаметр $CD$. Этот диаметр также является хордой. Точка $P$ делит его на отрезки. Расстояние от центра $O$ до концов диаметра $C$ и $D$ равно радиусу $R$. Тогда длины отрезков, на которые точка $P$ делит диаметр, равны $PC = R - d$ и $PD = R + d$.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Подставим известные и выраженные значения: $6 \cdot 8 = (R - 4) \cdot (R + 4)$

В правой части уравнения находится формула разности квадратов: $48 = R^2 - 4^2$ $48 = R^2 - 16$

Теперь выразим $R^2$: $R^2 = 48 + 16$ $R^2 = 64$

Найдем радиус, извлекая квадратный корень: $R = \sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

б)

Данная задача решается аналогично предыдущей, с использованием той же теоремы о пересекающихся хордах.

Пусть точка $P$ делит хорду на отрезки длиной $a = 2$ и $b = 8$. Расстояние от точки $P$ до центра окружности равно $d = 3$. Требуется найти диаметр окружности $D$.

Как и в предыдущей задаче, воспользуемся соотношением: $a \cdot b = R^2 - d^2$ где $R$ — радиус окружности.

Выразим отсюда квадрат радиуса: $R^2 = a \cdot b + d^2$

Подставим в формулу заданные значения: $a = 2$, $b = 8$ и $d = 3$. $R^2 = 2 \cdot 8 + 3^2$ $R^2 = 16 + 9$ $R^2 = 25$

Найдем радиус окружности: $R = \sqrt{25} = 5$

По условию задачи нужно найти диаметр $D$. Диаметр равен удвоенному радиусу: $D = 2R$ $D = 2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10