Номер 84, страница 193 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

84. a) Диагонали $AC$ и $BK$ четырехугольника $ABCK$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $ABO$ и $COK$ равны 3 и 4 соответственно, а площадь треугольника $BOC$ на 200 % больше площади треугольника $COK$. Найдите площадь четырехугольника $ABCK$.

б) Диагонали $AC$ и $BP$ четырехугольника $ABCP$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $ABO$ и $COP$ равны 6 и 18 соответственно, а площадь треугольника $BOC$ на 100 % больше площади треугольника $COP$. Найдите площадь четырехугольника $ABCP$.

а)

Пусть $S_{ABO}$, $S_{BOC}$, $S_{COK}$ и $S_{AOK}$ — это площади треугольников, на которые диагонали $AC$ и $BK$ разбивают четырехугольник $ABCK$.

По условию задачи, нам даны площади двух треугольников: $S_{ABO} = 3$ и $S_{COK} = 4$.

Площадь треугольника $BOC$ на $200\%$ больше площади треугольника $COK$. Это означает, что она составляет $100\% + 200\% = 300\%$ от площади $COK$, или в 3 раза больше.

$S_{BOC} = S_{COK} + 2 \cdot S_{COK} = 3 \cdot S_{COK}$

Подставляем известное значение $S_{COK}$:

$S_{BOC} = 3 \cdot 4 = 12$

Для любого выпуклого четырехугольника, в котором диагонали пересекаются, существует свойство: произведение площадей треугольников, лежащих напротив друг друга, равны. То есть:

$S_{ABO} \cdot S_{COK} = S_{BOC} \cdot S_{AOK}$

Используем это свойство, чтобы найти площадь четвертого треугольника, $S_{AOK}$. Подставим известные значения:

$3 \cdot 4 = 12 \cdot S_{AOK}$

$12 = 12 \cdot S_{AOK}$

$S_{AOK} = \frac{12}{12} = 1$

Площадь всего четырехугольника $ABCK$ равна сумме площадей четырех треугольников:

$S_{ABCK} = S_{ABO} + S_{BOC} + S_{COK} + S_{AOK}$

$S_{ABCK} = 3 + 12 + 4 + 1 = 20$

Ответ: 20

б)

Аналогично пункту а), рассмотрим четырехугольник $ABCP$, диагонали которого $AC$ и $BP$ пересекаются в точке $O$. Площади образовавшихся треугольников обозначим как $S_{ABO}$, $S_{BOC}$, $S_{COP}$ и $S_{AOP}$.

По условию, $S_{ABO} = 6$ и $S_{COP} = 18$.

Площадь треугольника $BOC$ на $100\%$ больше площади треугольника $COP$. Это означает, что она составляет $100\% + 100\% = 200\%$ от площади $COP$, или в 2 раза больше.

$S_{BOC} = S_{COP} + 1 \cdot S_{COP} = 2 \cdot S_{COP}$

Подставляем известное значение $S_{COP}$:

$S_{BOC} = 2 \cdot 18 = 36$

Воспользуемся свойством равенства произведений площадей противоположных треугольников:

$S_{ABO} \cdot S_{COP} = S_{BOC} \cdot S_{AOP}$

Найдем площадь $S_{AOP}$, подставив известные значения:

$6 \cdot 18 = 36 \cdot S_{AOP}$

$108 = 36 \cdot S_{AOP}$

$S_{AOP} = \frac{108}{36} = 3$

Площадь всего четырехугольника $ABCP$ равна сумме площадей четырех треугольников:

$S_{ABCP} = S_{ABO} + S_{BOC} + S_{COP} + S_{AOP}$

$S_{ABCP} = 6 + 36 + 18 + 3 = 63$

Ответ: 63