Номер 78, страница 191 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

78. a) В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, а средняя линия — 16. Большее основание трапеции является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции.

б) Трапеция вписана в окружность, диаметром которой является большее основание трапеции. Боковая сторона трапеции равна $\sqrt{17}$, а средняя линия — 16. Найдите площадь трапеции.

a)

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность, с основаниями $AD$ и $BC$. Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 15$.

По условию, средняя линия трапеции $m$ равна 16. Средняя линия вычисляется по формуле $m = \frac{AD+BC}{2}$. Таким образом, $AD+BC = 2 \cdot 16 = 32$.

Площадь трапеции $S$ находится по формуле $S = m \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Нам нужно найти высоту $h$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD=15$, катет $CH=h$, а катет $HD$ равен полуразности оснований: $HD = \frac{AD-BC}{2}$. По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{AD-BC}{2})^2 = CD^2 = 15^2 = 225$.

По условию, большее основание $AD$ является диаметром окружности. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle ACD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ACD$ — прямоугольный. По теореме Пифагора для $\triangle ACD$: $AC^2 + CD^2 = AD^2$, откуда $AC^2 = AD^2 - 15^2 = AD^2 - 225$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Его катеты $CH=h$ и $AH = AD - HD = AD - \frac{AD-BC}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD+BC}{2} = m = 16$. По теореме Пифагора для $\triangle ACH$: $AC^2 = AH^2 + CH^2 = 16^2 + h^2 = 256 + h^2$.

Теперь у нас есть два выражения для $AC^2$. Приравняем их:$AD^2 - 225 = 256 + h^2$. Отсюда выразим $h^2$: $h^2 = AD^2 - 481$.

Подставим это выражение для $h^2$ в уравнение из теоремы Пифагора для $\triangle CHD$:$(AD^2 - 481) + (\frac{AD-BC}{2})^2 = 225$. Известно, что $BC = 32 - AD$. Подставим это в уравнение:$AD^2 - 481 + (\frac{AD - (32 - AD)}{2})^2 = 225$
$AD^2 - 481 + (\frac{2AD - 32}{2})^2 = 225$
$AD^2 - 481 + (AD - 16)^2 = 225$
$AD^2 - 481 + AD^2 - 32AD + 256 = 225$
$2AD^2 - 32AD - 225 = 225$
$2AD^2 - 32AD - 450 = 0$
$AD^2 - 16AD - 225 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $AD$. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4(1)(-225) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$. Корни уравнения: $AD = \frac{16 \pm 34}{2}$. Так как длина основания не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:$AD = \frac{16 + 34}{2} = \frac{50}{2} = 25$.

Теперь найдем высоту $h$:$h^2 = AD^2 - 481 = 25^2 - 481 = 625 - 481 = 144$.
$h = \sqrt{144} = 12$.

Наконец, найдем площадь трапеции:$S = m \cdot h = 16 \cdot 12 = 192$.

Ответ: 192.

б)

Задача аналогична предыдущей, но с другими числовыми значениями. Дана равнобедренная трапеция, вписанная в окружность. Боковая сторона $c = \sqrt{17}$, средняя линия $m = 16$, а большее основание является диаметром окружности.

Пусть основания трапеции равны $a$ (большее) и $b$ (меньшее), а высота равна $h$. Из определения средней линии имеем: $\frac{a+b}{2} = 16$, откуда $a+b=32$. Площадь трапеции: $S = m \cdot h = 16h$.

Проведем высоту из конца меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c=\sqrt{17}$ и катетами $h$ и $\frac{a-b}{2}$. По теореме Пифагора:$h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$.

Так как большее основание $a$ является диаметром, диагональ трапеции $d$, боковая сторона $c$ и большее основание $a$ образуют прямоугольный треугольник. Для него по теореме Пифагора: $d^2 + c^2 = a^2$, то есть $d^2 + 17 = a^2$.

Также диагональ является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$ и отрезком на большем основании, равным средней линии $m=16$. Для этого треугольника: $d^2 = h^2 + m^2 = h^2 + 16^2 = h^2 + 256$.

Приравняем выражения для $d^2$:$a^2 - 17 = h^2 + 256$. Выразим $h^2$: $h^2 = a^2 - 17 - 256 = a^2 - 273$.

Подставим это выражение для $h^2$ в первое уравнение Пифагора:$(a^2 - 273) + (\frac{a-b}{2})^2 = 17$. Используем соотношение $b = 32 - a$:$a^2 - 273 + (\frac{a - (32 - a)}{2})^2 = 17$
$a^2 - 273 + (\frac{2a - 32}{2})^2 = 17$
$a^2 - 273 + (a - 16)^2 = 17$
$a^2 - 273 + a^2 - 32a + 256 = 17$
$2a^2 - 32a - 17 = 17$
$2a^2 - 32a - 34 = 0$
$a^2 - 16a - 17 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $a_1=17$ и $a_2=-1$. Так как длина основания должна быть положительной, $a = 17$.

Теперь найдем высоту $h$:$h^2 = a^2 - 273 = 17^2 - 273 = 289 - 273 = 16$.
$h = \sqrt{16} = 4$.

Найдем площадь трапеции:$S = m \cdot h = 16 \cdot 4 = 64$.

Ответ: 64.