Номер 75, страница 191 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

75. a) В равнобедренную трапецию, одно из оснований которой равно $4$, вписана окружность радиусом $1$. Найдите периметр трапеции.

б) В равнобедренную трапецию, одно из оснований которой равно $18$, вписана окружность радиусом $3$. Найдите боковую сторону трапеции.

а)

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. По условию, радиус вписанной окружности $r=1$, а одно из оснований равно 4. Пусть $a=4$.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна ее диаметру: $h = 2r = 2 \cdot 1 = 2$.

Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы ее противолежащих сторон равны. Поскольку трапеция равнобедренная, то $a + b = c + c = 2c$. Отсюда боковая сторона $c = \frac{a+b}{2}$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$, одним катетом $h$ и вторым катетом, равным полуразности оснований $\frac{|a-b|}{2}$. По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Подставим в это уравнение выражения для $c$ и $h$:

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = (2r)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Перенесем член с основаниями в левую часть и упростим:

$\frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = 4r^2$

$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{4} = 4r^2$

$\frac{4ab}{4} = 4r^2$

$ab = 4r^2$

Мы получили соотношение, связывающее основания и радиус вписанной окружности. Теперь найдем второе основание $b$, подставив известные значения $a=4$ и $r=1$:

$4 \cdot b = 4 \cdot 1^2 \implies b=1$.

Основания трапеции равны 4 и 1.

Периметр трапеции $P$ вычисляется по формуле $P = a+b+2c$. Используя свойство $a+b=2c$, получим:

$P = (a+b) + (a+b) = 2(a+b)$

$P = 2(4+1) = 10$.

Ответ: 10.

б)

Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. По условию, радиус вписанной окружности $r=3$, а одно из оснований равно 18. Пусть $a=18$.

Как было показано в решении пункта а), для равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, справедливо соотношение $ab = 4r^2$. Используем его, чтобы найти длину второго основания $b$.

Подставим известные значения $a=18$ и $r=3$:

$18 \cdot b = 4 \cdot 3^2$

$18 \cdot b = 4 \cdot 9$

$18b = 36$

$b = \frac{36}{18} = 2$.

Итак, основания трапеции равны 18 и 2.

Для нахождения боковой стороны $c$ воспользуемся свойством описанного четырехугольника: сумма длин противоположных сторон равна. Для нашей трапеции:

$a + b = 2c$

Выразим $c$ и подставим значения оснований:

$c = \frac{a+b}{2} = \frac{18+2}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10.