Номер 76, страница 191 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

76. a) В трапецию вписана окружность радиусом 6. Точка касания делит большее основание на отрезки 9 и 12. Найдите площадь трапеции.

б) В трапецию вписана окружность радиусом 4. Точка касания делит меньшее основание на отрезки 1 и 2. Найдите площадь трапеции.

а)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, в которую вписана окружность. Пусть $AD$ — большее основание. Радиус вписанной окружности по условию $r = 6$. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, так как окружность касается обоих оснований.
$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$.

Пусть точка касания $K$ делит большее основание $AD$ на отрезки длиной 9 и 12. Тогда длина большего основания $a$ равна их сумме:
$a = AD = 9 + 12 = 21$.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Проведем отрезки $OA$, $OB$, $OC$, $OD$. Эти отрезки являются биссектрисами углов трапеции. Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle C + \angle D = 180^\circ$ (сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Поскольку $OC$ и $OD$ — биссектрисы, то $\angle OCD = \frac{1}{2}\angle C$ и $\angle ODC = \frac{1}{2}\angle D$. Сумма углов в треугольнике $\triangle COD$:
$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $\triangle COD$ — прямоугольный.

Пусть $N$ — точка касания окружности со стороной $CD$. Тогда $ON \perp CD$, и $ON$ является высотой прямоугольного треугольника $\triangle COD$, проведенной к гипотенузе $CD$. Длина этой высоты равна радиусу $r=6$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть точка касания $K$ на основании $AD$ делит его на отрезки $DK = 9$ и $AK = 12$. Тогда $DN = DK = 9$. Пусть отрезок $CN = y$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: $ON^2 = CN \cdot DN$.
$r^2 = y \cdot 9$
$6^2 = 9y \implies 36 = 9y \implies y = 4$.
Таким образом, $CN = 4$.

Аналогично, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным. Высота $OL$ (где $L$ — точка касания на $AB$) равна радиусу $r=6$. Отрезки касательных $AL = AK = 12$. Пусть $BL = x$.
$OL^2 = AL \cdot BL$
$r^2 = 12 \cdot x$
$6^2 = 12x \implies 36 = 12x \implies x = 3$.
Таким образом, $BL = 3$.

Меньшее основание $BC$ состоит из отрезков $CM$ и $BM$ (где $M$ - точка касания на $BC$). По свойству касательных $CM = CN = 4$ и $BM = BL = 3$.
Длина меньшего основания $b = BC = CM + BM = 4 + 3 = 7$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{21+7}{2} \cdot 12 = \frac{28}{2} \cdot 12 = 14 \cdot 12 = 168$.
Ответ: 168.

б)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть трапеция $ABCD$ имеет основания $AD$ (большее) и $BC$ (меньшее). Радиус вписанной окружности $r = 4$. Высота трапеции $h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$.

Точка касания $M$ делит меньшее основание $BC$ на отрезки длиной 1 и 2. Пусть $BM = 1$ и $MC = 2$. Длина меньшего основания $b = BC = 1 + 2 = 3$.

Как и в пункте а), треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ являются прямоугольными, а радиусы, проведенные в точки касания на боковых сторонах, являются их высотами.

По свойству касательных, $BL = BM = 1$ и $CN = CM = 2$. Пусть $AL = x$ и $DN = y$.

В прямоугольном $\triangle AOB$ высота $OL=r=4$. По свойству высоты:
$OL^2 = AL \cdot BL$
$4^2 = x \cdot 1 \implies 16 = x$.

В прямоугольном $\triangle COD$ высота $ON=r=4$. По свойству высоты:
$ON^2 = CN \cdot DN$
$4^2 = 2 \cdot y \implies 16 = 2y \implies y = 8$.

Большее основание $AD$ состоит из отрезков $AK$ и $KD$. По свойству касательных $AK = AL = x = 16$ и $KD = DN = y = 8$.
Длина большего основания $a = AD = AK + KD = 16 + 8 = 24$.

Найдем площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{24+3}{2} \cdot 8 = \frac{27}{2} \cdot 8 = 27 \cdot 4 = 108$.
Ответ: 108.