Номер 71, страница 190 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

71. а) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 12$ и $BC = 8$ на луче $BC$ взята точка $P$ так, что луч $AP$ делит трапецию на две равновеликие части. Найдите длину отрезка $CP$.

б) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 9$ и $BC = 6$ на луче $BC$ взята точка $P$ так, что луч $AP$ делит трапецию на треугольник и четырехугольник, причем площадь треугольника в два раза меньше площади четырехугольника. Найдите длину отрезка $CP$.

a)

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$. Площадь трапеции равна:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{12 + 8}{2} \cdot h = 10h$.

По условию, луч $AP$ делит трапецию на две равновеликие части, то есть на две части с равными площадями. Площадь каждой части равна $\frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2}(10h) = 5h$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $P$ на луче $BC$.

1. Точка $P$ лежит на отрезке $BC$. В этом случае луч $AP$ (а точнее, отрезок $AP$) делит трапецию на треугольник $ABP$ и четырехугольник $APCD$. Тогда площадь треугольника $ABP$ должна быть равна $5h$. Площадь треугольника $ABP$ можно вычислить как $S_{ABP} = \frac{1}{2} BP \cdot h$, так как $h$ является высотой этого треугольника из вершины $A$ на прямую $BC$. Получаем уравнение: $\frac{1}{2} BP \cdot h = 5h$, откуда $BP = 10$. Однако, по условию, $BC = 8$, а точка $P$ лежит на отрезке $BC$, поэтому ее расстояние от точки $B$ не может превышать 8. Полученное равенство $BP=10$ противоречит условию $P \in [BC]$. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Точка $P$ лежит на луче $BC$ вне отрезка $BC$. Поскольку луч начинается в точке $B$ и проходит через $C$, точка $C$ находится между $B$ и $P$. В этом случае луч $AP$ пересекает сторону $CD$ в некоторой точке $M$. Таким образом, трапеция делится отрезком $AM$ на треугольник $ADM$ и четырехугольник $ABCM$. Площадь треугольника $ADM$ должна быть равна $5h$: $S_{ADM} = 5h$.

Рассмотрим треугольники $ADM$ и $ACD$. У них общая высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $CD$. Следовательно, их площади относятся как длины оснований $DM$ и $CD$:

$\frac{S_{ADM}}{S_{ACD}} = \frac{DM}{CD}$.

Площадь треугольника $ACD$ равна $S_{ACD} = \frac{1}{2} AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h = 6h$. Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{5h}{6h} = \frac{DM}{CD} \implies \frac{DM}{CD} = \frac{5}{6}$.

Это означает, что точка $M$ делит отрезок $CD$ в отношении $CM:MD = 1:5$.

Теперь найдем длину отрезка $CP$. Точки $A$, $M$, $P$ лежат на одной прямой. Введем систему координат с началом в точке $A$, направив ось $Ox$ вдоль луча $AD$. Тогда $A=(0,0)$, $D=(12,0)$. Пусть высота трапеции равна $h$, тогда прямая $BC$ задается уравнением $y=-h$. Координаты вершин $B$ и $C$ будут $B=(x_B, -h)$ и $C=(x_C, -h)$, причем $|x_C - x_B| = BC = 8$. Координаты точки $P$ будут $P=(x_P, -h)$.

Координаты точки $M$, которая делит отрезок $CD$ так, что $DM/CD=5/6$, можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:$\vec{M} = (1 - \frac{5}{6})\vec{D} + \frac{5}{6}\vec{C} = \frac{1}{6}\vec{D} + \frac{5}{6}\vec{C}$.$M = (\frac{1}{6} \cdot 12 + \frac{5}{6}x_C, \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{5}{6}(-h)) = (2 + \frac{5}{6}x_C, -\frac{5}{6}h)$.

Поскольку точки $A(0,0)$, $M$ и $P(x_P, -h)$ лежат на одной прямой, их координаты пропорциональны (так как $A$ - начало координат):

$\frac{x_M}{y_M} = \frac{x_P}{y_P} \implies \frac{2 + \frac{5}{6}x_C}{-\frac{5}{6}h} = \frac{x_P}{-h}$.

$2 + \frac{5}{6}x_C = \frac{5}{6}x_P$.

$12 + 5x_C = 5x_P$.

$x_P = x_C + \frac{12}{5} = x_C + 2.4$.

Длина отрезка $CP$ равна разности $x$-координат точек $P$ и $C$:$CP = |x_P - x_C| = |(x_C + 2.4) - x_C| = 2.4$.

Положение точки $P$ ($x_P = x_C+2.4$) соответствует случаю, когда $C$ лежит между $B$ и $P$ (если $x_B=x_C-8$) или $B$ лежит между $C$ и $P$ (если $x_B=x_C+8$), что не противоречит условию P на луче BC вне отрезка BC.

Ответ: 2,4.

б)

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$. Площадь трапеции равна:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{9 + 6}{2} \cdot h = 7.5h$.

Луч $AP$ делит трапецию на треугольник площадью $S_T$ и четырехугольник площадью $S_Q$. По условию, $S_T = \frac{1}{2} S_Q$. Так как $S_T + S_Q = S_{ABCD}$, имеем $S_T + 2S_T = 3S_T = 7.5h$. Отсюда находим площадь треугольника: $S_T = \frac{7.5h}{3} = 2.5h$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Точка $P$ лежит на отрезке $BC$.

В этом случае луч $AP$ делит трапецию на треугольник $ABP$ и четырехугольник $APCD$. Значит, $S_T = S_{ABP} = 2.5h$. Площадь треугольника $ABP$ равна $S_{ABP} = \frac{1}{2} BP \cdot h$. Приравнивая, получаем $\frac{1}{2} BP \cdot h = 2.5h$, откуда $BP = 5$. Поскольку $BP = 5$ и $BC = 6$, точка $P$ действительно лежит на отрезке $BC$. Длина отрезка $CP$ в этом случае равна:$CP = BC - BP = 6 - 5 = 1$. Это является одним из возможных решений.

Случай 2: Точка $P$ лежит на луче $BC$ вне отрезка $BC$.

В этом случае, как и в пункте а), луч $AP$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Трапеция делится на треугольник $ADM$ и четырехугольник $ABCM$. Значит, $S_T = S_{ADM} = 2.5h$. Найдем отношение, в котором точка $M$ делит сторону $CD$.$S_{ACD} = \frac{1}{2} AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h = 4.5h$.$\frac{S_{ADM}}{S_{ACD}} = \frac{DM}{CD} \implies \frac{2.5h}{4.5h} = \frac{DM}{CD} \implies \frac{DM}{CD} = \frac{2.5}{4.5} = \frac{5}{9}$.

Найдем $CP$, используя тот же метод, что и в пункте а). Введем систему координат с началом в точке $A(0,0)$, $D=(9,0)$. Вершины $B$ и $C$ имеют координаты $B=(x_B, -h)$ и $C=(x_C, -h)$, где $|x_C - x_B| = 6$. Координаты точки $M$, делящей отрезок $CD$ в отношении $DM/CD = 5/9$:$\vec{M} = (1 - \frac{5}{9})\vec{D} + \frac{5}{9}\vec{C} = \frac{4}{9}\vec{D} + \frac{5}{9}\vec{C}$.$M = (\frac{4}{9} \cdot 9 + \frac{5}{9}x_C, \frac{4}{9} \cdot 0 + \frac{5}{9}(-h)) = (4 + \frac{5}{9}x_C, -\frac{5}{9}h)$.

Точки $A(0,0)$, $M$ и $P(x_P, -h)$ лежат на одной прямой, поэтому:

$\frac{x_M}{y_M} = \frac{x_P}{y_P} \implies \frac{4 + \frac{5}{9}x_C}{-\frac{5}{9}h} = \frac{x_P}{-h}$.

$4 + \frac{5}{9}x_C = \frac{5}{9}x_P$.

$36 + 5x_C = 5x_P$.

$x_P = x_C + \frac{36}{5} = x_C + 7.2$.

Длина отрезка $CP$ равна:$CP = |x_P - x_C| = |(x_C + 7.2) - x_C| = 7.2$. Это второе возможное решение.

Ответ: 1 или 7,2.