Номер 66, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

66. a) Длина большей диагонали прямоугольной трапеции равна $\sqrt{58}$, средняя линия — 5,5, а площадь — 16,5. Найдите градусную меру острого угла трапеции.

б) Длина большей диагонали прямоугольной трапеции равна $2\sqrt{19}$, средняя линия — 5, а площадь — $10\sqrt{3}$. Найдите градусную меру острого угла трапеции.

а) Пусть $a$ и $b$ — основания прямоугольной трапеции (причем $a$ — большее основание), а $h$ — её высота. По условию, средняя линия $m = \frac{a+b}{2} = 5,5$, а площадь $S = m \cdot h = 16,5$. Отсюда можно найти высоту трапеции:
$h = \frac{S}{m} = \frac{16,5}{5,5} = 3$.
Сумма оснований равна $a+b = 2m = 2 \cdot 5,5 = 11$.
Большая диагональ в прямоугольной трапеции, равная по условию $d = \sqrt{58}$, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $h$ и $a$. По теореме Пифагора:
$d^2 = h^2 + a^2$
$(\sqrt{58})^2 = 3^2 + a^2$
$58 = 9 + a^2$
$a^2 = 49$, откуда, так как длина — положительная величина, $a=7$.
Зная большее основание, находим меньшее:
$b = 11 - a = 11 - 7 = 4$.
Острый угол трапеции $\alpha$ определяется из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и отрезком, равным разности оснований $a-b$.
$a-b = 7 - 4 = 3$.
Тангенс острого угла:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{a-b} = \frac{3}{3} = 1$.
Учитывая, что $\alpha$ — острый угол, получаем $\alpha = 45^{\circ}$.
Ответ: $45^{\circ}$.

б) Аналогично пункту а), обозначим основания трапеции как $a$ и $b$ ($a>b$), а высоту — $h$.
Из условия имеем: средняя линия $m = 5$, площадь $S = 10\sqrt{3}$, большая диагональ $d = 2\sqrt{19}$.
Находим высоту $h$:
$h = \frac{S}{m} = \frac{10\sqrt{3}}{5} = 2\sqrt{3}$.
Находим сумму оснований:
$a+b = 2m = 2 \cdot 5 = 10$.
Используем теорему Пифагора для треугольника с катетами $h$, $a$ и гипотенузой $d$:
$d^2 = h^2 + a^2$
$(2\sqrt{19})^2 = (2\sqrt{3})^2 + a^2$
$4 \cdot 19 = 4 \cdot 3 + a^2$
$76 = 12 + a^2$
$a^2 = 76 - 12 = 64$, откуда $a=8$.
Находим меньшее основание:
$b = 10 - a = 10 - 8 = 2$.
Находим разность оснований:
$a-b = 8 - 2 = 6$.
Тангенс острого угла $\alpha$ равен отношению высоты к разности оснований:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{a-b} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как $\alpha$ — острый угол, его градусная мера равна $30^{\circ}$.
Ответ: $30^{\circ}$.